Жадный алгоритм Радо — Эдмондса

Жа́дный алгори́тм Ра́до — Э́дмондса — алгоритм нахождения в матроиде базы минимального веса.

Если каждому элементу носителя матроида сопоставлен его вес, и вес подмножества носителя определяется как сумма весов элементов этого подмножества, то алгоритм Радо — Эдмондса позволяет найти среди всех баз матроида базу минимального веса.

Реализация

${\displaystyle X}$— носитель матроида, ${\displaystyle I}$ — семейство независимых множеств.

Для всех ${\displaystyle i}$ от ${\displaystyle 0}$ до ранга матроида строится множество ${\displaystyle A_{i}\in I}$ мощности ${\displaystyle i}$, вес которого является минимальным среди весов независимых подмножеств той же мощности.

${\displaystyle A_{0}=\varnothing }$ — очевидно.

Строятся эти множества так: ${\displaystyle A_{i+1}=A_{i}+\left\{x\right\}}$, где ${\displaystyle x}$ — минимальный из элементов ${\displaystyle y\in X\setminus A_{i}}$ таких, что ${\displaystyle A_{i}\cup \left\{y\right\}\in I}$.

Ответ задачи — ${\displaystyle A_{n}}$, где ${\displaystyle n}$ — ранг матроида.

Алгоритм Радо—Эдмондса обобщает жадные алгоритмы. Например, будучи применённым к графическому матроиду, он превращается в алгоритм Краскала поиска остовного леса минимального веса.

Литература

• R. Rado. A theorem on independence relations. Quart. J. Math., 13:83–89, 1942
• Edmonds J. Matroids and the Greedy Algorithms // Math Programming . 1971. - P. 127-136. doi:10.1007/BF01584082
• Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов (рус.). — 3-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 74-77. — 384 с. — ISBN 978-5-91180-759-7.

Ссылки

• Лекция 9. Матроиды, Курс "Дискретная математика", Новосибирский государственный университет, 2009