Доказательные вычисления

Доказательные вычисления — целенаправленные вычисления на ЭВМ, комбинируемые с аналитическими исследованиями, которые приводят к строгому установлению новых фактов и доказательству теорем[1].

Достоверные вычисления

Одним из часто применяемых методов доказательных вычислений являются достоверные вычисления. Под достоверными вычислениями понимаются численные методы с автоматической верификацией точности получаемых результатов[2]. Довольно часто доказательные вычисления строятся на основе интервального анализа, где вместо вещественных чисел рассматриваются интервалы, которые определяют точность величин. Интервальный анализ широко применяется для вычислений с гарантируемой точностью в условиях машинной арифметики.

Примеры

В теории чисел

Благодаря тому, что теория чисел во многом оперирует целыми числами, использование доказательных вычислений в теории чисел оказывается очень плодотворным.

• Утверждается, что число Мерсенна ${\displaystyle M_{43112609}=2^{43112609}-1}$ является простым. Проверить этот факт теоретически возможно человеку, но практически только с использованием вычислительной техники.
• Л. Эйлер выдвинул гипотезу, что уравнение ${\displaystyle x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=x_{5}^{5}}$ не имеет решений в целых положительных числах. Однако позднее было показано, что существует как минимум одно решение:

${\displaystyle x_{1}=27}$, ${\displaystyle x_{2}=84}$, ${\displaystyle x_{3}=110}$, ${\displaystyle x_{4}=133}$, ${\displaystyle x_{5}=144}$.

Причем это решение было найдено с помощью перебора на компьютере[1].

В теории графов

Одно из наиболее известных успехов применения доказательных вычислений в теории графов является решение проблемы четырёх красок. Эта знаменитая задача была поставлена 1852 году и формулируется следующим образом: «выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета». В 1976 году К. Аппель и В. Хакен с помощью доказательных вычислений показали, что так можно раскрасить любую карту.

В гидродинамике

Применением доказательных вычислений в математических задачах гидродинамики систематически занимались в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН под руководством К. И. Бабенко. Примером является следующая теорема, полученная с помощью доказательных вычислений[3].

Теорема. При ${\displaystyle \alpha =1.02}$ и ${\displaystyle R=6000}$ спектральная задача Орра — Зоммерфельда имеет собственное значение, лежащее в полуплоскости ${\displaystyle \mathrm {Re} \,\lambda >0}$. Следовательно, в линеаризованной постановке при этих параметрах течение Пуазёйля неустойчиво.

Ещё примеры

• Задача Буля о пифагоровых тройках.
• Классификация многогранников Джонсона.

См. также

• Математическое доказательство
• Экспериментальная математика

Примечания

1. Бабенко К. И. . Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.
2. Кулиш У., Рац Д., Хаммер Р., Хокс М. Достоверные вычисления. Базовые численные методы. — РХД, 2005.
3. Бабенко К. И., Васильев М. М. О доказательных вычислениях в задаче об устойчивости течения Пуазейля // ДАН СССР. — 1983. — Т. 273, № 6. — С. 1289—1294.

Ссылки

• Интервальный анализ и его приложения

Литература

• Панков П.С. Доказательные вычисления на электронно-вычислительных машинах. — Фрунзе: Илим, 1978. — 179 с.
• К. И. Бабенко. О доказательных вычислениях и математическом эксперименте на ЭВМ // УМН. — 1985. — Т. 40, № 4(244). — С. 137—138.
• Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН. . — 1988. — Т. 303, № 5. — С. 1033—1037.