Гипотеза Эйлера

Гипотеза Эйлера — предположение о том, что для любого натурального числа ${\displaystyle n>2}$ никакую ${\displaystyle n}$-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$-х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}}$

не имеют решения в натуральных числах. Опровергнута➤.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю ${\displaystyle n=3}$. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для ${\displaystyle n=3}$.

Контрпримеры

В 1966 году с помощью суперкомпьютера CDC 6600 инженерами Дармутского колледжа Ландером и Паркиным найден первый контрпример для ${\displaystyle n=5}$[1][2]:

${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}}$.

В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая ${\displaystyle n=4}$[3][4]:

${\displaystyle 2682440^{4}[phone]^{4}[phone]^{4}=20615673^{4}}$.

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для ${\displaystyle n=4}$[5][4]:

${\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}}$.

Обобщения

Основная статья: Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

В 1966 году Джон Селфридж^[англ.] совместно с нашедшими первый контпример Ландером и Паркиным высказал гипотезу, что если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$, где ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$ — положительные целые числа, ${\displaystyle i={\overline {1,n}},j={\overline {1,m}}}$, то ${\displaystyle m+n\geqslant k}$.

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$, то ${\displaystyle n\geqslant k-1}$.

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$, где ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$, называется ${\displaystyle (k,n,m)}$-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$ занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet[6] и yoyo@home.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания

1. L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers’s conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
2. L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge. A survey of equal sums of like powers (англ.) // Math. Comp.^[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 21. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. Архивировано 4 мая 2019 года.
3. Noam Elkies. On A^4 + B^4 + C^4 = D^4 (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.]. — 1988. — Vol. 51, no. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — JSTOR 2008781. Архивировано 31 июля 2021 года.
4. R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a, b, c, d, e, f, g < 250000 found with a distributed Boinc project Архивная копия от 3 сентября 2015 на Wayback Machine, 2011, препринт.
5. Frye, Roger E. (1988), "Finding 95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4 on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, pp. 106–116, doi:10.1109/SUPERC.1988.74138
6. EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine.

Ссылки

• EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine
• Гипотеза Эйлера Архивная копия от 21 июня 2013 на Wayback Machine