Дифференциальная геометрия поверхностей

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

Дифференциальная геометрия поверхностей разделяется на два основных подраздела: внешней и внутренней геометрии. Основным объектом изучения внешней геометрии поверхностей являются гладкие поверхности, вложенные в евклидово пространство, а также ряд их обобщений. Во внутренней геометрии основным объектом являются абстрактно заданные поверхности с различными дополнительными структурами, наиболее часто — первая фундаментальная форма (то же, что и риманова метрика).

История

Отдельные свойства поверхностей вращения были известны ещё Архимеду. Развитие математического анализа в семнадцатом веке обеспечило более систематические подходы к их доказательству.

Кривизну поверхностей общего вида изучал Леонард Эйлер; в 1760 году им получено выражение для нормальных кривизн поверхности.[1] В 1771 году[2] он рассматривал поверхности, заданные в параметрической форме, ввёл по­ня­тие на­ло­жи­мо­сти по­верх­но­стей (в современной терминологии — изометричность); в частности он рассмотрел по­верх­но­сти, на­ло­жи­мые на плос­кость. Таким образом Эйлер был первым, кто рассматривал внутреннюю геометрию поверхности.

Гаспар Монж рассматривал асимптотические кривые и линии кривизны на поверхностях.

Важнейший вклад в теорию поверхностей сделал Гаусс в двух статьях, написанных в 1825 и 1827 годах[3]. В частности, им доказана так называемая Theorema Egregium — исторически важный результат, который говорит, что кривизна Гаусса является внутренним инвариантом, то есть инвариантом относительно локальных изометрий. Выделение дифференциальной геометрии в отдельную область исследований часто связывают именно с этой теоремой.[4] Он ввёл понятие первой и второй квадратичных форм. Позже Карл Михайлович Пе­тер­со­н вывел пол­ную сис­те­му урав­не­ний на квадратичные формы поверхности.

Ключевые результаты во внутренней геометрии поверхностей были получены Фердинандом Готлибовичем Миндингом. В частности, он ввёл понятие параллельного перенесения вдоль кривой, получившее дальнейшее развитие в работах Туллио Леви-Чивиты.

С конца XIX векa, большое внимание уделялось задаче об изометрическом погружении, изгибании поверхностей и задачам жёсткости. Важнейшие результаты были получены Александром Даниловичем Александровым, Давидом Гилбертом, Дмитрием Фёдоровичем Егоровым, Стефаном Кон-Фоссеном и другими.

Методы развитые в дифференциальной геометрии поверхностей сыграли основную роль в развитии римановой и александровской геометрий.

Основные понятия

Гладкая вложенная поверхность является основным объектом изучения дифференциальной геометрии поверхностей, точнее внешней геометрии поверхностей. Она определяется следующим образом: Подмножество ${\displaystyle \Sigma }$ евклидова пространства называется гладкой вложенной поверхностью (точнее гладкой регулярной вложенной поверхностью без края), если для любой точки ${\displaystyle p\in \Sigma }$ существует окрестность ${\displaystyle U\ni p}$ в ${\displaystyle \Sigma }$, которая является графиком ${\displaystyle z=f(x,y)}$ гладкой функции ${\displaystyle f}$ в подходящим образом выбранной системе декартовых координат ${\displaystyle (x,y,z)}$.

Для любой поверхности, вложенной в евклидово пространство, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадь области на поверхности. Эта структура задаётся первой фундаментальной формой, то есть 2×2 положительно определённой матрицей, гладко меняющаяся от точки к точке в локальной параметризации поверхности. Можно абстрагироваться от исходного вложения. То есть рассматривать абстрактную поверхность заданную локальными координатами с римановой метрикой. Это приводит к так называемой внутренней геометрии поверхностей, получившей дальнейшее развитие в римановой геометрии.

Центральную роль в исследовании поверхностей играет кривизна, в том числе главные кривизны, гауссова и средняя кривизны, а также тензорные описания кривизны, такие как оператор формы и вторая фундаментальная форма.

Большое внимание отводится и другим классам кривых на поверхности, включая геодезические, асимптотические кривые и линии кривизны.

Основные результаты теории относятся к свойствам выпуклых, седловых поверхностей, поверхностей вращения, поверхностей постоянной средней кривизны и в частности минимальных поверхностей.

Конструкции

• Сферическое отображение — отображение при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке.

• Трёхгранник Дарбу естественный репер для кривой на поверхности, используется в определении геодезической и нормальной кривизны.

Технические утверждения

• Формула Эйлера позволяет вычислить нормальную кривизну поверхности.

• Теорема Мёнье — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.

Фундаментальные теоремы

• Лемма Гаусса о геодезических — утверждает, что любая достаточно малая окружность с центром в точке поверхности перпендикулярна каждой геодезической кривой из центра. Используется в доказательстве того, что геодезические кривые являются локально кратчайшими кривыми. Также играет ключевую роль в доказательстве свойств нормальных и полугеодезических координат

• Уравнения Петерсона ― Кодацци дают локальные условия на первую и вторую квадратичные формы поверхности.

• Теорема об униформизации — гарантирует существование конформной параметризации данной поверхности поверхностью постоянной гауссовой кривизны.

• Формула Гаусса — Бонне — даёт выражение на интеграл гауссовой кривизны по области на поверхности.

• Теорема сравнения Александрова — даёт оценки на углы геодезического треугольника.

Открытые вопросы

• Задача изометричного вложения. Остаётся открытым вопрос, любая ли абстрактно заданная поверхность допускает изометрическое вложение в евклидово пространство размерности 3. Это так называемая «уравнение Вейля»[5].
  • Результат Якобовича[6] и Позняка[7] даёт положительный ответ для вложений в 4-х мерное пространство.
  • В 1926 году Морис Жане доказал, решил задачу для аналитических метрик.
  • Теорема Александрова о вложении говорит, что любая достаточно гладкая метрика на сфере с положительной гауссовой кривизной изометрична замкнутой выпуклой поверхности в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$. Аналогичный результат для аналитических метрик был получен ранее Вейлем.[8]

• Гипотеза Каратеодори: Гипотеза утверждает, что замкнутая выпуклая трижды дифференцируемая поверхность допускает по меньшей мере две точки округления. Первой работой по этой гипотезе была работа Ганса Гамбургера в 1924, который заметил, что гипотеза следует из следующего более строгого утверждения: Полуцелый индекс расслоения главной кривизны изолированной омбилики не превосходит единицы.

• Гипотеза Вилмора^[англ.]. Эта гипотеза утверждает, что интеграл от квадрата средней кривизны тора, вложенного в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$, должен быть ограничен снизу величиной ${\displaystyle 2\pi ^{2}}$. Известно, что интеграл является инвариантом Мёбиуса. Гипотезу решили в 2012 Фернандо Кода Маркес и Андрк Невес[9].

Примечания

1. Euler, 1760.
2. Euler, 1771.
3. Gauss, 1902.
4. Топоногов, 2012, с. 132.
5. Han, Hong, 2006.
6. Jacobowitz, 1972.
7. Poznjak, 1973.
8. Погорелов А. В. Изгибание выпуклых поверхностей ГИТТЛ (1951)
9. Marques, Neves, 2014, с. 683–782.

Ссылки

• ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ : [арх. 8 декабря 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

Литература

• С. Э. Кон-Фоссен, Д. Гильберт. Наглядная геометрия. — М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936. — 302 с.

• До Кармо, М. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Москва, Ижевск, 2013. — ISBN 978-5-4344-0150-0.

• Погорелов, А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е издание. — М.: Наука, 1974.

• Позняк Э. Г. Изометрические погружения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства. — 1973. — Т. 28, вып. 4. — С. 47–77. — doi:10.1070/RM1973v028n04ABEH001591.

• Рашевский, П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 3-е издание. — М.: ГИТТЛ, 1950.

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

• Чернавский, А. В. Дифференциальная геометрия, 2-й курс.

• Recherches sur la courbure des surfaces // Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. — 1760. — Т. 16. — С. 119–143.. Дата публикации — 1767

• Leonhard Euler. De solidis quorum superficiem in planum explicare licet // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. — 1771. — Т. 16. — С. 3–34.. Дата публикации — 1772

• Carl Friedrich Gauss. General Investigations of Curved Surfaces of 1825 and 1827. — Princeton University Library, 1902.

• Qing Han, Jia-Xing Hong. Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces. — 2006. — ISBN 978-0-8218-4071-9.

• Howard Jacobowitz. Local Isometric Embeddings of Surfaces into Euclidean Four Space // Indiana Univ. Math. J.. — 1972. — Т. 21, вып. 3. — С. 249–254. — doi:10.1512/iumj.1971.21.21019.

• Fernando Codá Marques, André Neves. Min-Max theory and the Willmore conjecture // Annals of Mathematics. — 2014. — Т. 179, вып. 2. — doi:10.4007/annals.2014.179.2.6. — arXiv:1202.6036. — JSTOR 24522767.