Вторая квадратичная форма

Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Вторая квадратичная форма часто обозначается ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$, а её компоненты традиционно обозначаются ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$.

Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.

Определение

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ поверхность задана уравнением ${\displaystyle r=r(u,v),}$ где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ ― внутренние координаты на поверхности; ${\displaystyle dr=r_{u}du+r_{v}dv}$ ― дифференциал радиус-вектора ${\displaystyle r}$ вдоль выбранного направления смещения из точки ${\displaystyle M}$ в бесконечно близкую точку ${\displaystyle M'}$; ${\displaystyle n}$ — нормальный вектор к поверхности в точке ${\displaystyle M}$. Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},}$

где коэффициенты определяются формулами:

${\displaystyle L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},}$

${\displaystyle M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},}$

${\displaystyle N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},}$

где ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )}$ обозначает смешанное произведение векторов и ${\displaystyle E=|r_{u}|^{2},}$ ${\displaystyle F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,}$ ${\displaystyle G=|r_{v}|^{2}}$ ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Связанные определения

• Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор ${\displaystyle S}$ на касательной плоскости определяемый как

  ${\displaystyle S(V)=-\nabla _{V}\nu ,}$

где ${\displaystyle \nu }$ — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:

${\displaystyle \langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).}$

• Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
  • Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.

• Нормальная кривизна ${\displaystyle k_{V}}$ по направлению ${\displaystyle V}$ вычисляется по формуле

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)}}=\langle S(V),V\rangle /|V|^{2}}$

где ${\displaystyle \mathrm {I} }$ — первая квадратичная форма.

• Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.

Вычисление

График функции

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции ${\displaystyle z=f(x,y)}$ в трёхмерном евклидовом пространстве с координатами ${\displaystyle x,y,z}$, коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

${\displaystyle L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac {f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.}$

Вариации и обобщения

Гиперповерхности

Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$. Пусть ${\displaystyle {r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ — локальная карта поверхности в точке ${\displaystyle P}$.

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

${\displaystyle q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r}}{\partial u^{i}\partial u^{j}}}{\biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,}$

где ${\displaystyle n}$ обозначает единичный вектор нормали.

Бо́льшая коразмерность

Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.[1][2]

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=\nabla _{v}^{\bot }w,}$

где ${\displaystyle \nabla _{v}^{\bot }w}$ обозначает проекцию ковариантной производной ${\displaystyle \nabla _{v}w}$ на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве. Оператор формы ${\displaystyle S_{\xi }}$ зависит от нормального вектора ${\displaystyle \xi }$ и определяется через следующее соотношение:

${\displaystyle \langle S_{\xi }v,w\rangle =-\langle \mathrm {I\!I} (v,w),\xi \rangle .}$

Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}$

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие ${\displaystyle N}$ вложено в риманово многообразие ${\displaystyle (M,g)}$ тогда тензор кривизны ${\displaystyle R_{N}}$ многообразия ${\displaystyle N}$ снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны ${\displaystyle R_{M}}$ объемлющего многообразия ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}$

По теореме Картана[3][4], вторая квадратичная форма для вложения плоского ${\displaystyle n}$-мерного многообразия в ${\displaystyle 2{\cdot }n}$-мерное Евклидово пространство либо вырождена, то есть существует ненулевой касательный вектор ${\displaystyle v}$ такой, что

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=0}$

для любого касательного вектора ${\displaystyle w}$, либо она представляется в следующем виде:

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=\sum _{i}\ell _{i}(v)\cdot \ell _{i}(w)\cdot e_{i},}$

где ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ — ортонормированный базис в нормальном пространстве и ${\displaystyle \ell _{1},\dots ,\ell _{n}}$ — линейно независимые линейные функции на касательном пространстве.

В частности, вторая квадратичная форма вложения плоского ${\displaystyle n}$-мерного многообразия в Евклидово пространство размерности меньше ${\displaystyle 2{\cdot }n}$ является вырожденной.

См. также

• Первая квадратичная форма
• Третья квадратичная форма
• Уравнения Петерсона ― Кодацци — полный набор соотношений для первой и второй квадратичной формы поверхности.

Примечания

1. c. 128 в M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992
2. M. Dajczer and R. Tojeiro. Submanifold theory. Universitext. Beyond an introduction. Springer, New York, 2019
3. E. Cartan. “Sur les variétés de courbure constante d’un espace euclidien ou non-euclidien”. Bull. Soc. Math. France 47 (1919), 125–160.
4. J. D. Moore. “Isometric immersions of space forms in space forms”. Pacific J. Math. 40 (1972), 157–166.

Литература

• Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.

• Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

• Чернавский, А. В.. Лекции по классической дифференциальной геометрии (2 курс)