Двудольный граф

Двудольный граф

Двудо́льный граф или бигра́ф в теории графов — это граф, вершины которого можно разбить на две части так, что каждое ребро соединяет вершину из одной части с вершиной другой части. То есть, между вершинами одной и той же части рёбра отсутствуют.

Определение

Полный двудольный граф ${\displaystyle K_{3,2}}$

Граф ${\displaystyle G=(W,E)}$ называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части ${\displaystyle U\cup V=W}$ так, что:

• ни одна вершина в ${\displaystyle U}$ не соединена с вершинами в ${\displaystyle U}$;
• ни одна вершина в ${\displaystyle V}$ не соединена с вершинами в ${\displaystyle V}$.

В этом случае, подмножества вершин ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ называются долями двудольного графа ${\displaystyle G}$.

Связанные определения

Двудольный граф называется полным двудольным (это понятие отлично от полного графа; то есть, такого, в котором каждая пара вершин соединена ребром), если для каждой пары вершин ${\displaystyle u\in U,v\in V}$ существует ребро ${\displaystyle (u,v)\in E}$. Для

${\displaystyle |U|=i,|V|=j}$

такой граф обозначается символом ${\displaystyle K_{i,j}}$.

Примеры

Примеры двудольных графов:

• любое дерево является двудольным графом;
• любой простой цикл, состоящий из чётного числа вершин;
• любой планарный граф, у которого каждая грань ограничена чётным количеством ребер.

Двудольные графы естественно возникают при моделировании отношений между двумя различными классами объектов. К примеру граф футболистов и клубов: ребро соединяет соответствующего игрока и клуб, если игрок играл в этом клубе.

Двудольные графы используют для описания LDPC кодов.

Свойства

• Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит цикла нечётной длины.
  • В частности двудольный граф не может содержать клику размером более 2.
• Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он 2-хроматический; то есть его хроматическое число равняется двум.
• Граф разбивается на пары разноцветных вершин тогда и только тогда, когда любые ${\displaystyle k}$ элементов одной из долей связаны по крайней мере с ${\displaystyle k}$ элементами другой (Теорема о свадьбах).
• Полный двудольный граф, у которого в каждой части больше 2 вершин, является непланарным.
• Любой двудольный граф является совершенным.

Проверка двудольности

Проверка двудольности с помощью чётности расстояний

Чтобы проверить граф на двудольность, в каждой компоненте связности нужно выбрать любую вершину и помечать остальные вершины при обходе графа (например, поиском в ширину) поочерёдно как четные и нечетные (см. иллюстрацию). Если конфликты не возникают, то четные вершины образуют множество ${\displaystyle U}$, а нечётные — множество ${\displaystyle V}$.

Применения

• Сети Петри
• Граф Леви
• Теория кодирования
  • Factor graph^[англ.]
  • Граф Таннера

См. также

• Словарь терминов теории графов
• Биекция
• Многодольный граф
• Квазидвудольный граф

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Graph, bipartite", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Information System on Graph Classes and their Inclusions: bipartite graph
• Weisstein, Eric W. Bipartite Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Bipartite graphs in systems biology and medicine