Группа Гейзенберга

Кусок графа Кэли дискретной группы Гейзенберга .

Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

где элементы a, b, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется:

• кольцо вещественных чисел ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$, или
• кольцо целых чисел ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$, или
• кольцо вычетов ${\displaystyle R=\mathbb {Z} _{p}}$ с простым числом p — группа обозначается ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} _{p})}$.

Названа в честь Вернера Гейзенберга, который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.

Алгебра Гейзенберга

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ группы Гейзенберга ${\displaystyle H}$ (над полем вещественных чисел) известна как алгебра Гейзенберга. Она может быть реализована в пространстве матриц 3×3 вида [1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}},}$

где ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$.

Следующие три матрицы образуют базис для ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$,

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$

И удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

${\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}$.

Название "Группа Гейзенберга" мотивируется тем, что соотношения имеют ту же форму, что и каноническое коммутационное соотношение в квантовой механике [2],

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]=i\hbar I;\quad \left[{\hat {x}},i\hbar I\right]=0;\quad \left[{\hat {p}},i\hbar I\right]=0,}$

где ${\displaystyle {\hat {x}}}$ — оператор координаты, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ — оператор импульса, и ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка.

Вариации и обобщения

Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга ${\displaystyle H_{n+2},\ n\geq 1,}$ состоит из квадратных матриц порядка n+2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&c\\0&1&0&\dots &0&b_{1}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots &b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&1&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&1\\\end{pmatrix}},}$

элементы ${\displaystyle a_{i},b_{i},c}$ принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.

Непрерывная группа Гейзенберга ${\displaystyle H_{n+2}(\mathbb {R} )}$ представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией ${\displaystyle \mathbb {R} }$), алгебра Ли которой (размерности 2n+1) состоит из матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&c\\0&0&0&\dots &0&b_{1}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots &b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&0&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&0\\\end{pmatrix}}.}$

Примечания

1. Hall, 2015 Proposition 3.26
2. Woit, Peter. Topics in Representation Theory: The Heisenberg Algebra. Архивная копия от 31 мая 2023 на Wayback Machine

Литература

• Кириллов А.А. Элементы теории представлений, — М.: Наука, 1978. Архивная копия от 27 июля 2014 на Wayback Machine
• Ernst Binz & Sonja Pods. Geometry of Heisenberg Groups, — American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Roger Evans Howe. On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis, — Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
• A.A. Kirilov. Lectures on the Orbit Method (Chapter 2: Representations and Orbits of the Heisenberg Group), — American Mathematical Society, 2004.
• Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — second. — Springer, 2015. — Vol. 222. — ISBN 978-3319134666.