Гомологическая сфера

Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z),

и

H_i(X,Z) = {0} при всех остальных i.

Примеры

• Сфера Пуанкаре
• Сферы Брискорна Σ(p, q, r), то есть пересечение малой 5-мерной сферы с решением уравнения x^p + y^q + z^r = 0 в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ при взаимно простых p, q и r. Они является гомологическими сферами. При этом Σ(1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а Σ(2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если ${\displaystyle 1/p+1/q+1/r\leq 1}$, то универсальное накрытие Σ(p, q, r) гомеоморфно евклидовому пространству,

Свойства

• Гомологическая сфера связна.
• Фундаментальная группа ${\displaystyle \Gamma }$ гомологической сферы совпадает со своим коммутатором.
• Пусть ${\displaystyle n\geqslant 5}$. Группа ${\displaystyle \Gamma }$ является группой какой-то n-мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когда[1]:
  1. ${\displaystyle \Gamma }$ конечно задана;
  2. ${\displaystyle H_{1}(\Gamma )=0}$;
  3. ${\displaystyle H_{2}(\Gamma )=0}$.
• Группа ${\displaystyle \Gamma }$ является группой какой-то 4-мерной гомологической сферы, если
  1. ${\displaystyle \Gamma }$ задана равным числом образующих и соотношений, и
  2. ${\displaystyle H_{1}(\Gamma )=0}$.
  • Неизвестно, верно ли обратное[1].
• Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера.
• Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере.

Вариации и обобщения

• Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами.

Примечания

1. Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (Oct., 1969), pp. 67—72