Геометрия Галуа

Плоскость Фано, Проективная плоскость над полем из двух элементов, один из самых простых объектов геометрии Галуа.

Геометрия Галуа (названа именем французского математика 19-го века Эвариста Галуа) — это раздел конечной геометрии, рассматривающий алгебраическую и аналитическую геометрию над конечными полями (или полями Галуа)[1]. В более узком смысле геометрию Галуа можно определить как проективное пространство над конечным полем[2].

Введение

Объектами изучения служат векторные пространства, аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, содержащихся в них. В частности, дуги^[англ.], овалы, гиперовалы, униталы^[англ.], блокирующие множества^[англ.], овалы, многообразия и другие конечные аналоги структур, имеющихся в бесконечных геометриях.

Джордж Конуэлл продемонстрировал геометрию Галуа в 1910, когда описывал решение задачи Киркмана о школьницах как разбиение множества скрещивающихся прямых в PG(3,2), трёхмерной проективной геометрии над полем Галуа GF(2)^[англ.][3]. Подобно методам геометрии прямых в пространстве над полем с характеристикой 0, Конуэлл использовал плюккеровы координаты в PG(5,2) и отождествил точки, представляющие прямые в PG(3,2) с точками, лежащими на квадрике Кляйна^[англ.].

В 1955 году Беньямино Сегре описал овалы для нечётных q. Теорема Сегре^[англ.] утверждает, что в геометрии Галуа нечётного порядка (проективная плоскость, определённая над конечным полем с нечётной характеристикой) любой овал является коническим сечением. На Международном конгрессе математиков 1958 года Сегре представил обзор имеющихся на то время результатов в геометрии Галуа[4].

${\displaystyle q}$ называется порядком конечной проективной плоскости, такой, что каждая точка (прямая), и число точек равняется числу прямых, ${\displaystyle q^{2}+q+1.}$ Например, при ${\displaystyle q=1}$ проективная плоскость - треугольник. Плоскости Галуа являются конечными проективными плоскостями, для которых справедлива теорема Дезарга. Для конечной проективной плоскости ${\displaystyle \Pi }$ определяется несколько когерентных конфигураций. Схема, содержащая их, определяется на множестве ${\displaystyle V^{2},}$ где ${\displaystyle V}$ - множество элементов (точек и прямых) конечной проективной плоскости ${\displaystyle \Pi ,}$ и в случае дезарговости расширяется до схемы, соответствующей покомпонентному действию группы ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Pi )}$ на ${\displaystyle V^{2}.}$ [5]

См. также

• Проективная геометрия
• Геометрия инцидентности
• Соответствие Галуа

Примечания

1. Galois geometry Архивная копия от 10 августа 2011 на Wayback Machine в Энциклопедии Математики
2. "Проективные пространства над конечными полями, известные также как геометрии Галуа, ...", (Hirschfeld, Thas 1992)
3. Conwell, 1910, с. 60–76.
4. Segre, 1958.
5. С.А.Евдокимов, И.Н.Пономаренко, Схемы отношений конечной проективной плоскости и их расширения, Алгебра и анализ, 2009, том 21, выпуск 1, 90-132.

Литература

• Beniamino Segre. On Galois Geometries. — International Mathematical Union, 1958. Архивная копия от 30 марта 2015 на Wayback Machine
• George M. Conwell. The 3-space PG(3,2) and its Groups. — Annals of Mathematics. — 1910. — Т. 11. — С. 60–76. — doi:10.2307/1967582.
• J. W. P. Hirschfeld. Projective Geometries Over Finite Fields. — Oxford University Press, 1979. — ISBN 978-0-19-850295-1.
• J. W. P. Hirschfeld. Finite Projective Spaces of Three Dimensions. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 0-19-853536-8.
• J. W. P. Hirschfeld, J. A. Thas. General Galois Geometries. — Oxford University Press, 1992. — ISBN 978-0-19-853537-9.
• Jan De Beule, Leo Storme. Current Research Topics in Galois Geometry. — Nova Science Publishers, 2011. — ISBN 978-1-61209-523-3. Архивная копия от 29 января 2016 на Wayback Machine