Вполне ограниченное множество

Множество называется вполне ограниченным, если для любого положительного ε существует конечная ε-сеть для этого множества.

Замечания

• Понятия вполне ограниченности и ограниченности совпадают в случае конечномерных евклидовых пространств ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$. Действительно, достаточно взять минимальный куб, содержащий данное ограниченное множество, со стороной ${\displaystyle a}$. Затем — разбить его на ${\displaystyle k^{n}}$кубиков со сторонами ${\displaystyle a/k}$. Вершины кубов дают конечную ε-сеть, нужный ε достигается увеличением ${\displaystyle k}$.
• Если на конечномерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$ вводить новые метрики, то ограниченные множества могут перестать быть вполне ограниченными. Такой результат, например, дает метрика ${\displaystyle d(x,y)=\min(1,\mid x-y\mid )}$ или дискретная метрика.
• В бесконечномерном пространстве ${\displaystyle l^{2}}$ограниченность также не тождественна вполне ограниченности. В единичном шаре потребуется бесконечное количество шаров радиуса ε<1, чтобы покрыть точки вида ${\displaystyle e_{i}=(0\dots 0,1,0\dots 0)}$, ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$.
• В полном метрическом пространстве вполне ограниченность влечет за собой предкомпактность. Это свойство требуется при доказательстве теоремы Арцела-Асколи.
• Иногда термин «вполне ограниченность» (англ. totally bounded) путают с термином «полная ограниченность» (англ. completely bounded). Последний имеет отношение к линейным операторам из квантового функционального анализа.

Литература

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 106 с.