Быстрота

Быстрота́ (англ. rapidity, иногда применяются[1] также термины рапи́дити, гиперско́рость и угол лоренцева поворота) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.

Определение и свойства

Быстрота выражается формулой:

${\displaystyle \theta =c\,\operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},}$

где

• ${\displaystyle \theta }$ — быстрота,
• ${\displaystyle v}$ — обычная скорость,
• ${\displaystyle c}$ — скорость света,
• ${\displaystyle \operatorname {Arth} x}$ — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) ${\displaystyle \operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}$ определён в области значений аргумента от −1 до +1; при ${\displaystyle x\to \pm 1}$ функция ${\displaystyle \operatorname {Arth} x\to \pm \infty .}$

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от ${\displaystyle -c}$ до ${\displaystyle +c}$ меняется от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$. Иногда вводят также параметр быстроты ${\displaystyle \varphi \equiv \theta /c\equiv \operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}}$ — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где ${\displaystyle c=1}$, которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

${\displaystyle \theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+...\right)\approx v}$ при ${\displaystyle v\ll c}$.

В ультрарелятивистском случае ${\displaystyle E\gg m}$ параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс ${\displaystyle p_{\|}=p\cos \alpha }$ (где α — угол вылета) следующим образом:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.}$

При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс ${\displaystyle p_{\perp }=p\sin \alpha }$ и параметр быстроты:

${\displaystyle E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2}}}\operatorname {ch} \varphi ,}$

${\displaystyle p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2}}}\operatorname {sh} \varphi .}$

Фактор Лоренца

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как

${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

${\displaystyle \gamma =\operatorname {ch} \varphi .}$

С увеличением скорости от 0 до ${\displaystyle c}$ лоренц-фактор ${\displaystyle \gamma }$ увеличивается от 1 до ${\displaystyle +\infty }$.

Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:

${\displaystyle \beta \gamma =\operatorname {sh} \varphi .}$

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$ две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна ${\displaystyle v_{1}}$, а скорость второй относительно первой равна ${\displaystyle v'_{2}}$ (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе ${\displaystyle K}$ через ${\displaystyle v_{2}}$. При малых (по сравнению со скоростью света ${\displaystyle c}$) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2}}$. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

${\displaystyle v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}}}}}$

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты ${\displaystyle \theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c}}}$. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта ${\displaystyle K}$ равна сумме быстрот:

${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.}$

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Вводится также полная быстрота ${\displaystyle \vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp}},}$ аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.

Геометрический смысл быстроты

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского (${\displaystyle x_{0}=ict}$) этот угол является мнимым.

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j^2 = +1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρe^jφ = ρ(ch φ + jsh φ), где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z, а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = e^jφ. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ. Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:

λ(φ)·λ(ψ) = e^jφ·e^jψ = e^j(φ + ψ) = λ(φ + ψ).

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту

Релятивистский импульс:

${\displaystyle p=mc\cdot \operatorname {sh} {\frac {\theta }{c}}=mc\cdot \operatorname {sh} \varphi ,}$

где:

• m — масса,
• c — скорость света,
• φ = θ/c — параметр быстроты (безразмерная быстрота).

Полная энергия:

${\displaystyle E=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} {\frac {\theta }{c}}=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} \varphi .}$

Скорость в СТО:

${\displaystyle v=c\cdot \operatorname {th} {\frac {\theta }{c}}=c\cdot \operatorname {th} \varphi .}$ Безразмерная скорость ${\displaystyle \beta =\operatorname {th} \varphi .}$

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

${\displaystyle 1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi },}$

где ${\displaystyle z}$ — параметр красного смещения.

См. также

• Псевдобыстрота
• Лоренцевский буст

Литература

• Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского (рус.) // Соросовский образовательный журнал. — 2004. — Т. 8. — С. 77—84.
• Гришин В. Г. Быстрота // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 233. — 707 с. — 100 000 экз.

Примечания

1. Копылов Г. И. Основы кинематики резонансов. — М.: Наука, 1970.