Большие числа

Для термина «большие числа (значения)» см. также другие значения.

О стандартной системе именования больших чисел см. Системы наименования чисел.

Неформально (обычно в развлекательной математике и научно-популярной литературе) большими числами называют числа, значительно превосходящие числа, используемые в повседневной жизни. С XV века большими считались числа[1] больше тысячи, например миллион[2].

Изучение больших чисел и их номенклатуры иногда называются термином гугология (англ. googology)[3][4][5]. Термин был образован как комбинация слов «гугол» (классическое большое число) и «логос» (учение). Термин введён любителем математики Джонатаном Бауэрсом[4].

История

Несмотря на то что гугология — современный термин, история изучения человеком больших чисел уходит в глубокую древность.

III век до н. э. — Архимед в своём труде Псаммит представил нотацию, позволяющую записывать числа до ${\displaystyle 10^{8\cdot 10^{16}}}$[6]. В связи с этим его иногда называют первым «гугологистом»[4].

I век н. э. — В буддистском священном тексте Аватамсака-сутра было упомянуто число ${\displaystyle \approx 10^{10^{32}}}$

1928 год — Вильгельм Аккерман опубликовал свою функцию.

1940 год — Эдвард Казнер описал числа гугол (${\displaystyle 10^{100}}$) и гуголплекс (${\displaystyle 10^{10^{100}}}$)[7].

1947 год — Р. Гудштейн^[англ.] дал наименование операциям тетрации (${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$), пентации (${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$) и гексации (${\displaystyle a\uparrow ^{4}b}$)[8].

1970 год — С. Вайнер дал определение быстрорастущей иерархии[9].

1976 год — Дональд Кнут изобрёл стрелочную нотацию[10] (предел ${\displaystyle \omega }$ в терминологии быстрорастущей иерархии).

1977 год — Мартин Гарднер в журнале Scientific American описал число Грэма[11] (${\displaystyle G=g(64)=f^{64}(4)}$, где ${\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3}$. Функция ${\displaystyle g(n)}$ имеет скорость роста порядка ${\displaystyle \omega +1}$).

1983 год — была изобретена нотация Штейнгауза — Мозера[12](предел ${\displaystyle \omega }$).

1995 год — Джон Конвей изобрёл цепную стрелочную нотацию[13](предел ${\displaystyle \omega ^{2}}$).

2002 год — Д. Бауэрс (J. Bowers) опубликовал свои нотацию массива[14][15] (предел ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$) и расширенную нотацию массива (предел ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$).

2002 год — Х. Фридман^[англ.] дал определение функции TREE(n), имеющей скорость роста ${\displaystyle \theta (\Omega ^{\omega }\omega )}$.

2006 год — Х. Фридман дал определение быстрорастущим функциям SCG(n) и SSCG(n).

2007 год — Д. Бауэрс определил ещё более мощную нотацию BEAF (данная нотация хорошо определена до ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, числа, превосходящие этот уровень, вызывают противоречивость оценок).

Список гугологизмов

Математические объекты, имеющие отношения к гугологии (в том числе большие числа), называются гугологизмами. В настоящее время наименования даны для нескольких тысяч чисел, превосходящих гугол. Ниже приведён список некоторых гугологизмов и их выражения в наиболее известных нотациях[16]. Перед выражением в той нотации, в которой число было записано автором, стоит знак равенства, выражения для того же числа в других нотациях представляют собой аппроксимации.

Имя числа	Степень десяти	Нотация Кнута	Нотация Конвея	Нотация Бауэрса (нотация массива)	Нотация Сайбиана (гипер-E нотация)	Быстрорастущая иерархия
Гугол	${\displaystyle =10^{100}}$	${\displaystyle 10\uparrow 100}$	${\displaystyle 10\rightarrow 100}$	${\displaystyle \{10,100\}}$	${\displaystyle E100}$	${\displaystyle f_{2}(324)}$
Гуголплекс	${\displaystyle =10^{10^{100}}}$	${\displaystyle 10\uparrow 10\uparrow 100}$	${\displaystyle 10\rightarrow (10\rightarrow 100)}$	${\displaystyle \{10,\{10,100\}\}}$	${\displaystyle E100\#2}$	${\displaystyle f_{2}^{2}(324)}$
Гиггол (Giggol)	${\displaystyle \underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} _{\text{100 десяток}}}$	${\displaystyle 10\uparrow ^{2}100}$	${\displaystyle 10\rightarrow 100\rightarrow 2}$	${\displaystyle =\{10,100,2\}}$	${\displaystyle E1\#100}$	${\displaystyle f_{3}(100)}$
Гаггол (Gaggol)	${\displaystyle \left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&{\text{10 десяток}}\end{matrix}}\right\}{\text{100 }}}$	${\displaystyle 10\uparrow ^{3}100}$	${\displaystyle 10\rightarrow 100\rightarrow 3}$	${\displaystyle =\{10,100,3\}}$	${\displaystyle E1\#1\#100}$	${\displaystyle f_{4}(100)}$
Бугол (Boogol)		${\displaystyle 10\uparrow ^{100}10}$	${\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 100}$	${\displaystyle =\{10,10,100\}}$	${\displaystyle E100\#\#100}$	${\displaystyle f_{101}(100)}$
Число Грэма		${\displaystyle =\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&3\uparrow ^{4}3{\text{стрелок}}\end{matrix}}\right\}{\text{64 }}}$	${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2}$	${\displaystyle \{3,65,1,2\}}$	${\displaystyle E(3)3\#\#4\#64}$	${\displaystyle f_{\omega +1}(64)}$
Траддом (Traddom)[17]			${\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 4}$	${\displaystyle \{10,10,3,2\}}$	${\displaystyle E10\#\#10\#\#4}$	${\displaystyle =f_{\omega +3}(10)}$
Биггол (Biggol)			${\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 100}$	${\displaystyle =\{10,10,100,2\}}$	${\displaystyle E100\#\#100\#\#100}$	${\displaystyle f_{\omega .2}(100)}$
Трултом (Trultom)			${\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 11}$	${\displaystyle \{10,10,10,3\}}$	${\displaystyle E10\#\#\#4}$	${\displaystyle =f_{\omega .3}(10)}$
Тругол (Troogol)			${\displaystyle \underbrace {10\rightarrow 10\rightarrow \cdots \rightarrow 10} _{101\quad \rightarrow }}$	${\displaystyle =\{10,10,10,100\}}$	${\displaystyle E100\#\#\#100}$	${\displaystyle f_{\omega ^{2}}(100)}$

Числа, приведённые ниже, находятся уже за пределами применения нотаций Кнута и Конвея.

имя числа	нотация Бауэрса (BEAF)	нотация Сайбиана	быстрорастущая иерархия
Квадругол (Quadroogol)	${\displaystyle =\{10,10,10,10,100\}}$	${\displaystyle E100\#\#\#\#100}$	${\displaystyle f_{\omega ^{3}}(100)}$
Квадрексом (Quadrexom)	${\displaystyle \{10,10,10,10,10,10\}}$	${\displaystyle E10\#\#\#\#\#10}$	${\displaystyle =f_{\omega ^{4}}(10)}$
Квинтугол (Quintoogol)	${\displaystyle =\{10,10,10,10,10,100\}}$	${\displaystyle E100\#\#\#\#\#100}$	${\displaystyle f_{\omega ^{4}}(100)}$
Губол (Goobol)	${\displaystyle =\{10,100(1)2\}=}$ ${\displaystyle =\underbrace {\{10,10,10,\cdots ,10,10\}} _{100\quad {\text{десяток}}}}$	${\displaystyle E100\#^{99}100}$	${\displaystyle f_{\omega ^{98}}(100)}$
Бубол (Boobol)	${\displaystyle =\{10,10,100(1)2\}}$	E100#^#100##100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }+99}(100)}$
Трубол (Troobol)	${\displaystyle =\{10,10,10,100(1)2\}}$	E100#^#100###101	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{2}}(100)}$
Квадрубол (Quadroobol)	${\displaystyle =\{10,10,10,10,100(1)2\}}$	E100#^#100####101	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{3}}(100)}$
Гутрол (Gootrol)	${\displaystyle =\{10,100(1)3\}}$	E100#^#100#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }.2}(100)}$
Госсол (Gossol)	${\displaystyle =\{10,10(1)100\}}$	E100#^#*#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega +1}}(100)}$
Моссол (Mossol)	${\displaystyle =\{10,10(1)10,100\}}$	E100#^#*##100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega +2}}(100)}$
Боссол (Bossol)	${\displaystyle =\{10,10(1)10,10,100\}}$	E100#^#*###100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega +3}}(100)}$
Троссол (Trossol)	${\displaystyle =\{10,10(1)10,10,10,100\}}$	E100#^#*####100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega +4}}(100)}$
Дубол (Dubol)	${\displaystyle =\{10,100(1)(1)2\}}$	E100#^#*#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega .2}}(100)}$
Дутрол (Dutrol)	${\displaystyle =\{10,100(1)(1)3\}}$	E100#^#*#^#100#^#*#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega .2}.2}(100)}$
Колоссол (Colossol)	${\displaystyle =\{10,10(3)2\}}$	E10#^###10	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{3}}}(10)}$
Тероссол (Terossol)	${\displaystyle =\{10,10(4)2\}}$	E10#^####10	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{4}}}(10)}$
Петоссол (Petossol)	${\displaystyle =\{10,10(5)2\}}$	E10#^#####10	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{5}}}(10)}$
Гонгулус (Gongulus)	${\displaystyle =\{10,10(100)2\}}$	E10#^#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{100}}}(10)}$
Годтосол (Godtothol)	${\displaystyle \{100,100((1)1)2\}}$	=E100#^#^#^#100	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}}(100)}$
Годтопол (Godtopol)	${\displaystyle \{100,100(((1)1)1)2\}}$	=E100#^#^#^#^#^#100	${\displaystyle f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)}$
Годоктол (Godoctol)	${\displaystyle \{100,100((((0,1)1)1)1)2\}}$	=E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100	${\displaystyle f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)}$
Декотетром (Dekotetrom)	${\displaystyle X\uparrow ^{2}9\&10}$	E10#^^#10	${\displaystyle =f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)}$
Гоппатос (Goppatoth)	${\displaystyle =10\uparrow \uparrow 100\&10}$	E10#^^#101	${\displaystyle f_{\varepsilon _{0}}(101)}$
Тесракросс (Tethracross)	${\displaystyle X\uparrow ^{3}X^{2}\&100}$	=E100#^^##100	${\displaystyle f_{\zeta _{0}}(100)}$
Тесракубор (Tethracubor)	${\displaystyle X\uparrow ^{4}101\&100}$	=E100#^^###100	${\displaystyle f_{\eta _{0}}(100)}$
Тесратерон (Tethrateron)	${\displaystyle X\uparrow ^{5}101\&100}$	=E100#^^####100	${\displaystyle f_{\varphi (4,0)}(100)}$
Пентаксулум (Pentacthulhum)	${\displaystyle \{X,X,1,2\}\&100}$	=E100#^^^#100	${\displaystyle f_{\Gamma _{0}}(99)}$
Гексаксулум (Hexacthulhum)	${\displaystyle \{X,X,1,3\}\&100}$	=E100#^^^^#100	${\displaystyle f_{\varphi (2,0,0)}(99)}$
Годсгодгулус (Godsgodgulus)	${\displaystyle \{X,X,1,99\}\&100}$	=E100#{100}#100	${\displaystyle f_{\varphi (98,0,0)}(99)}$
TREE(3)			${\displaystyle f_{\theta (\Omega ^{\omega }\omega )}(3)}$
SCG(13)			${\displaystyle f_{\psi _{\Omega }(\Omega _{\omega })}(13)}$

Применение больших чисел в других областях науки

Космология

• Диаметр видимой части Вселенной ${\displaystyle 8,8\times 10^{26}}$м
• Число атомов в видимой части Вселенной ${\displaystyle \approx 10^{80}}$ (по разным оценкам от 4⋅10^79 до 10^81).
• Число объёмов Планка (${\displaystyle l_{P}^{3}}$, где ${\displaystyle l_{P}=1,6\times 10^{-35}}$м — планковская длина) в видимой части Вселенной ${\displaystyle \approx 4,7\times 10^{184}}$
• Диаметр Вселенной в соответствии с некоторыми инфляционными моделями ${\displaystyle \approx 10^{10^{12}}}$м
• Возможное число вселенных в мультиверсуме по оценке А. Линде и В. Ванчурина в соответствии с хаотической теорией инфляции ${\displaystyle 10^{10^{10^{7}}}}$[18].

Статистическая механика

• Вероятность того, что в 1 см³ обычного воздуха вследствие случайного хаотического движения молекул объём 1 мм³ в течение 1 секунды будет оставаться абсолютно пустым ${\displaystyle 1/10^{10^{13}}}$ (что соответствует времени ожидания ${\displaystyle 10^{10^{13}}}$ с.)[19]
• Время ожидания появления больцмановского мозга в результате квантовой флуктуации в де-ситтеровском вакууме ${\displaystyle \approx 10^{10^{50}}}$ лет[20].
• Время возвращения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, вмещающего чёрную дыру, масса которой равна массе Вселенной согласно некоторым инфляционным моделям ${\displaystyle \approx 10^{10^{10^{10^{10^{1,1}}}}}}$ лет[21][22].

Теория графов

• Число Грэма — верхняя граница для наименьшего числа измерений гиперкуба, при котором двухцветная раскраска линий, соединяющих все пары вершин этого куба, обязательно содержит одноцветный 4-вершинный копланарный полный подграф
• TREE(3)
• SCG(13)

Примечания

1. Александр Альбов. От абака до кубита + история математических символов. — Litres, 2017-09-05. — С. 73. — 308 с. — ISBN 978-5-04-013707-7. Архивировано 11 января 2022 года.
2. П. С. Александров. Энциклопедия элементарной математики. — Рипол Классик. — С. 38. — 449 с. — ISBN 978-5-458-25956-9. Архивировано 11 января 2022 года.
3. One Million Things: A Visual Encyclopedia (англ.). — New York, New York 10014, United States: DK Publishing, 2008. — P. 286. — ISBN 978-0-7566-3843-6. «The study of large numbers is called googology»
4. Prof. Dr. Ir. Maarten Looijen. Over getallen gesproken - Talking about numbers (афр.). — Van Haren Publishing, 2016. — С. 211. — ISBN 978-94018-0028-0.
5. Robert A. Nowlan. Masters of Mathematics: The Problems They Solved, Why These Are Important, and What You Should Know about Them (англ.). Springer (13 мая 2017). Дата обращения: 25 августа 2018. Архивировано 4 августа 2020 года.
6. The Sand Reckoner (Arenario)  (неопр.). Дата обращения: 8 октября 2016. Архивировано 7 августа 2016 года.
7. Kasner, Edward; Newman, James R. Mathematics and the Imagination (англ.). — Simon and Schuster, New York, 1940. — ISBN 0-486-41703-4. The relevant passage about the googol and googolplex, attributing both of these names to Kasner’s nine-year-old nephew, is available in The world of mathematics, volume 3 (англ.) / James R. Newman. — Mineola, New York: Dover Publications, 2000. — P. 2007—2010. — ISBN 978-0-486-41151-4.
8. Goodstein, R. L. (1947). «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory». Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123—129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486 Архивная копия от 27 января 2017 на Wayback Machine.
9. Löb, M.H. and Wainer, S.S., "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction, " Arch. Math. Logik Grundlagenforschung 14, 1970 pp. 198—199.
10. Knuth, D. E. (1976) «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness.» Архивная копия от 24 августа 2013 на Wayback Machine Science 194, 1235—1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235
11. Gardner, M. (1977) «Mathematical games: In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» Архивная копия от 19 октября 2013 на Wayback Machine Scientific American 237(5), 18-28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.
12. Steinhaus-Moser Notation — MathWorld  (неопр.). Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 13 октября 2016 года.
13. Conway, J. H. (1995) PDF Архивная копия от 22 ноября 2021 на Wayback Machine
14. Exploding Array Function  (неопр.). Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 21 сентября 2016 года.
15. Array notation  (неопр.). Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 19 октября 2016 года.
16. List of googologisms  (неопр.). Дата обращения: 10 октября 2016. Архивировано 21 ноября 2016 года.
17. Traddom  (неопр.). Дата обращения: 10 октября 2016. Архивировано 11 октября 2016 года.
18. ANDREI LINDE AND VITALY VANCHURIN- HOW MANY UNIVERSES ARE IN THE MULTIVERSE?  (неопр.) Дата обращения: 18 октября 2016. Архивировано из оригинала 11 октября 2016 года.
19. Г. Линдер. Картины современной физики. М.: Мир, 1977
20. Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem Архивная копия от 11 августа 2012 на Wayback Machine // Andrei Linde 2007, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 01(2007)022 doi:10.1088/1475-7516/2007/01/022
21. Information Loss in Black Holes and/or Conscious Beings?, Don N. Page, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity (1995), S. A. Fulling (ed), p. 461. Discourses in Mathematics and its Applications, No. 4, Texas A&M University Department of Mathematics. arXiv:hep-th/9411193. ISBN 0-9630728-3-8.
22. How to Get A Googolplex  (неопр.). Дата обращения: 18 октября 2016. Архивировано 6 ноября 2006 года.

Литература

• David Darling, Agnijo Banerjee. Weird Math: A Teenage Genius and His Teacher Reveal the Strange Connections Between Math and Everyday Life. — Basic Books, 2018-04-17. — 294 с. — ISBN 9781541644793.

Ссылки

• Googology — статья в Googology Wiki.