Теорема Пуанкаре о возвращении

Теорема Пуанкаре о возвращении — одна из базовых теорем эргодической теории. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность.

Формулировка

Полная формулировка теоремы следующая[1][2]:

Пусть ${\displaystyle T}$ — сохраняющее меру преобразование пространства с конечной мерой ${\displaystyle (X,\mu )}$ и пусть ${\displaystyle A\subset X}$ — измеримое множество. Тогда для некоторого натурального ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu (\{x\in A\colon \{T^{n}(x)\}_{n\geqslant N}\subset (X\setminus A)\})=0}$.

Следствия

У данной теоремы есть следствие: если в сосуде, разделённом перегородкой на два отсека, один из которых заполнен идеальным газом, а другой пуст, удалить перегородку, то через некоторое время все молекулы газа вновь соберутся в исходной части сосуда. Разгадка этого парадокса в том, что «некоторое время» очень велико. Применительно неидеального газа это не работает, поскольку такая система будет стремиться к экстремуму энтропии.^[источник не указан 507 дней]

Примечания

1. Каток, Хасселблат, 1999, с. 152.
2. Norbert Marwan, M. Carmen Romano, Marco Thiel, Jürgen Kurths. Recurrence plots for the analysis of complex systems // Physics Reports. — 2007. — № 438. — С. 237–329. — ISSN 0370-1573. Архивировано 24 сентября 2015 года.

Литература

• Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / Перевод с английского А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Изд. 5-е стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — С. 62. — ISBN 5-354-00341-5