Биэллиптическая переходная орбита

Биэллиптическая переходная орбита — в космонавтике и аэрокосмической технике орбита манёвра, при котором космический аппарат переходит с одной орбиты на другую. В некоторых случаях биэллиптический переход требует меньшей характеристической скорости дельта-v, чем перелёт по гомановскому эллипсу.

Биэллиптическая орбита состоит из двух половин эллиптических орбит. Сначала космическому аппарату, находящемуся на начальной орбите, придаётся определённая дельта-v для перехода на первую часть биэллиптической орбиты с апоцентром в некоторой точке на расстоянии ${\displaystyle r_{b}}$ от центрального тела. В этой точке аппарату также придаётся некоторая дельта-v для перехода на второй участок биэллиптической орбиты с перицентром на расстоянии, равном радиусу итоговой желаемой орбиты. В точке перицентра в третий раз аппарату придаётся некоторая дельта-v, в результате аппарат переходит на требуемую орбиту[1].

Биэллиптические перелёты обычно требуют больше топлива и времени, чем гомановские, но некоторые биэллиптические траектории требуют меньшей суммарной дельта-v, чем гомановская траектория, в случае отношения больших полуосей конечной и начальной траектории, превышающего 11,94, в зависимости от большой полуоси промежуточной орбиты[2].

Идея биэллиптической переходной орбиты была впервые представлена в статье Ари Штернфельда в 1934 году[3].

Вычисления

Дельта-v

Биэллиптическая траектория перехода с низкой круговой орбиты (тёмно-синий цвет) на более высокую круговую орбиту (красный цвет)

Три значения изменения скорости можно получить непосредственно из интеграла энергий,

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$

где

${\displaystyle v}$ — скорость аппарата на орбите,

${\displaystyle \mu =GM}$ — гравитационный параметр притягивающего тела,

${\displaystyle r}$ — расстояние от притягивающего центра до тела на орбите,

${\displaystyle a}$ — большая полуось орбиты тела.

В рассматриваемой задаче

${\displaystyle r_{1}}$ — радиус начальной круговой орбиты,

${\displaystyle r_{2}}$ — радиус конечной круговой орбиты,

${\displaystyle r_{b}}$ — радиус общего апоцентра двух эллиптических участков переходной орбиты, свободный параметр манёвра,

${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ равны большим полуосям эллиптических участков переходной орбиты, задаются равенствами

${\displaystyle a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}},}$

${\displaystyle a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}.}$

При старте с начальной круговой орбиты радиуса ${\displaystyle r_{1}}$ (тёмно-синяя окружность на рисунке), добавление скорости по направлению движения (вектор в положении 1 на рисунке) переводит космический аппарат на первый эллиптический участок орбиты перехода (бирюзовая линия). Величина необходимой дельта-v равна

${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.}$

Когда апоцентр первого эллиптического участка достигается на расстоянии ${\displaystyle r_{b}}$, аппарату второй раз придаётся дополнительная скорость по направлению движения (вектор в положении 2 на рисунке), в результате на новой эллиптической орбите (оранжевая кривая) перицентр находится в точке касания итоговой круговой орбиты. Величина требуемой для перехода на эту часть переходной орбиты равна

${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.}$

Наконец, когда достагется финальная круговая орбита радиуса ${\displaystyle r_{2}}$, аппарату придаётся вектор скорости против движения по орбите (вектор в положении 3 на рисунке) для перехода на итоговую круговую орбиту (красная окружность). Финальная добавка скорости равна

${\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.}$

Если ${\displaystyle r_{b}=r_{2}}$, то манёвр преобразуется в гомановскую траекторию (в этом случае ${\displaystyle \Delta v_{3}}$ равно нулю). Следовательно, биэллиптическая орбита представляет более общий тип траектории, чем гомановская.

Бипараболическая орбита перехода с низкой круговой орбиты (синий цвет) на более высокую круговую орбиту (красный цвет)

Максимальная экономия в смысле добавочной скорости может быть вычислена в предположении ${\displaystyle r_{b}=\infty }$, тогда полное значение ${\displaystyle \Delta v}$ принимает вид ${\displaystyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)}$.

В таком случае переход называется бипараболическим, поскольку оба участка траектории являются не эллипсами, а параболами. Время перелёта также стремится к бесконечности.

Время перелёта

Как и в случае гомановского перелёта, обе части траектории, используемой в биэллиптическом перелёте, являются в точности половинами эллипсов. Это означает, что время, необходимое для преодоления каждой фазы перехода, является половиной орбитального периода для каждого эллипса.

Используем уравнение для орбитального периода и указанные выше обозначения:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Полное время перелёта ${\displaystyle t}$ является суммой промежутков времени для каждой из половин эллипсов, следовательно

${\displaystyle t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}},\quad \quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}.}$

Итоговый интервал времени:

${\displaystyle t=t_{1}+t_{2}.}$

Сравнение с гомановской траекторией

Дельта-v

Дельта-v, необходимая для гомановской (чёрная кривая) и биэллиптической траекторий (цветные кривые) между двумя круговыми орбитами как функция отношения их радиусов.

Рисунок показывает полное значение ${\displaystyle \Delta v}$, требуемое для перехода с круговой орбиты радиуса ${\displaystyle r_{1}}$ на другую круговую орбиту радиуса ${\displaystyle r_{2}}$. Величина ${\displaystyle \Delta v}$ нормирована на орбитальную скорость начальной орбиты, ${\displaystyle v_{1}}$ и представлена в виде функции отношения радиусов конечной и начальной орбиты ${\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1}}$; таким образом, сопоставление величин является общим, не зависящим от ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$ по отдельности, а только от их отношения[2].

Чёрная кривая показывает значение ${\displaystyle \Delta v}$ для гомановской траектории, цветные кривые соответствуют биэллиптическим траекториям с различными значениями параметра ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$, определённого как расстояние апоцентра ${\displaystyle r_{b}}$ биэллиптической орбиты, делённое на радиус начальной орбиты, и указанного рядом с кривыми. На врезке крупным планом показана область, где кривые для биэллиптических траекторий пересекают кривую для гомановской орбиты первый раз.

Можно заметить, что гомановский перелёт является более эффективным при отношении радиусов ${\displaystyle R}$ меньшем 11,94. С другой стороны, если радиус итоговой орбиты более чем в 15,58 раз превышает радиус начальной орбиты, то любой биэллиптический переход вне зависимости от апоцентрического расстояния (оно должно всё же превышать радиус итоговой орбиты) требует меньшую ${\displaystyle \Delta v}$ чем гомановская траектория. В области от 11,94 до 15,58 эффективность той или иной орбиты зависит от апоцентрического расстояния ${\displaystyle r_{b}}$. Для заданного ${\displaystyle R}$ в этом диапазоне существует значение ${\displaystyle r_{b}}$, выше которого предпочтительна биэллиптическая траектория и ниже которого предпочтительна гомановская траектория. В следующей таблице указаны значения ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ для некоторых случаев[4].

Минимум ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ таков, что для биэллиптической траектории необходимо меньшее ${\displaystyle \Delta v}$[5].

Отношение радиусов орбит, ${\displaystyle r_{2}/r_{1}}$	Минимум ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$	Комментарий
0 — 11,94	-	Гомановский перелёт лучше
11,94	${\displaystyle \infty }$	Бипараболическая траектория
12	815,81
13	48,90
14	26.10
15	18,19
15,58	15,58
более 15,58	более ${\displaystyle r_{2}/r_{1}}$	Любая биэллиптическая траектория лучше

Время перелёта

Длительное время перелёта по биэллиптической орбите

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}}$

является существенным недостатком такого орбитального манёвра. В случае бипараболической траектории время перелёта становится бесконечным.

Гомановский перелёт обычно требует меньше времени, поскольку движение происходит только по половине эллипса переходной орбиты:

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Пример

Для перехода с низкой круговой орбиты радиуса r₀ = 6700 км вокруг Земли на новую круговую орбиту радиуса r₁ = 93 800 км при использовании гомановской траектории потребуется Δv, равное 2825,02 + 1308,70 = 4133;72 м/с. Поскольку r₁ = 14r₀ > 11,94r₀, то биэллиптическая траектория позволит затратить меньшую Δv. Если космическому аппарату сначала придать дополнительную скорость 3061,04 м/с, переведя таким образом на эллиптическую орбиту с апогеем при r₂ = 40r₀ = 268 000 км, а затем в апогее придать ещё 608,825 м/с для достижения новой орбиты с перигеем на расстоянии r₁ = 93 800 км, и в конце манёвра в перицентре второго участка переходной орбиты уменьшить скорость на 447,662 м/с, переведя аппарат на итоговую орбиту, то полное значение Δv будет равно 4117,53 м/с, что на 16,19 м/с (0,4 %) меньше, чем при гомановской траектории.

Уменьшение значения Δv можно усилить при увеличении промежуточного апогея, увеличив при этом время перелёта. Например, при апогее 75,8r₀ = 507 688 км (в 1,3 раза превышает среднее расстояние от Земли до Луны) уменьшение Δv относительно гомановской траектории составит 1 %, но перелёт займёт 17 суток. В случае крайне большого расстояния в апоцентре, 1757r₀ = 11 770 000 км (в 30 раз превышает среднее расстояние от Земли до Луны) экономия составит 2 % по сравнению с гомановской орбитой, но перелёт займёт 4,5 года (без учёта гравитационных возмущений от других тел Солнечной системы). Для сравнения, перелёт по гомановской траектории займёт 15 часов 34 минуты.

Δv для различных вариантов перелёта

Тип	Траектория Гомана	Биэллиптическая траектория
Апогей, км	93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
Добавка скорости 1 (м/с)	2825,02	3061,04	3123,62	3191,79	3194,89
Добавка скорости 2 (м/с)	1308,70	608,825	351,836	16,9336	0
Добавка скорости 3 (м/с)	0	−447,662	−616,926	−842,322	−853,870
Суммарное значение (м/с)	4133,72	4117,53	4092,38	4051,04	4048,76
Отношение	100 %	99,6 %	99,0 %	98,0 %	97,94 %

• Δv направлено в сторону движения
• (отрицательное значение) Δv направлено против движения

На биэллиптической орбите большая часть Δv передаётся в первый момент, что вносит большой вклад в орбитальную энергию тела.

Примечания

1. Curtis, Howard. Orbital Mechanics for Engineering Students (англ.). — Elsevier, 2005. — P. 264. — ISBN 0-7506-6169-0.
2. Vallado, David Anthony. Fundamentals of Astrodynamics and Applications (англ.). — Springer, 2001. — P. 318. — ISBN 0-7923-6903-3.
3. Sternfeld, Ary J.[sic] (1934-02-12), "Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée" [On the allowed trajectories for approaching a central attractive body from a given Keplerian orbit], Comptes rendus de l'Académie des sciences (фр.), 198 (1), Paris: 711—713, Архивировано 25 сентября 2020, Дата обращения: 7 июля 2020 Источник  (неопр.). Дата обращения: 7 июля 2020. Архивировано 25 сентября 2020 года.
4. Gobetz, F. W.; Doll, J. R. A Survey of Impulsive Trajectories (англ.) // AIAA Journal^[англ.] : journal. — American Institute of Aeronautics and Astronautics^[англ.], 1969. — May (vol. 7, no. 5). — P. 801—834. — doi:10.2514/3.5231.
5. Escobal, Pedro R. Methods of Astrodynamics. — New York: John Wiley & Sons, 1968. — ISBN 978-0-471-24528-5.