Бабочка (БПФ)

Диаграмма потока данных соединяет входы x (слева) с выходами y (справа) для «бабочки» алгоритма БПФ. Диаграмма напоминает бабочку (на рисунке приводится бабочка Морфо)

БПФ по основанию 2 с прореживанием по времени разбивает ДПФ размерности N на два ДПФ размерности N/2 c последующим объединяющим шагом, состоящим из множественных операций "бабочка".

Бабочка — элементарный шаг в алгоритме Кули-Тюки (англ. Cooley–Tukey FFT) вычисления быстрого преобразования Фурье.

Время работы шага Бабочка определяет длительность вычисления преобразования Фурье.[1]

В простейшем варианте (Radix-2 butterfly) является двухточечным преобразованием.

Формула для вычисления «Бабочки»:[1]

${\displaystyle Y_{1}=X_{1}+X_{2}\cdot W}$

${\displaystyle Y_{2}=X_{1}-X_{2}\cdot W}$

Обозначения: ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ – исходные точки; ${\displaystyle Y_{1}}$, ${\displaystyle Y_{2}}$ – точки результата, ${\displaystyle W}$ – комплексный коэффициент.

Для БПФ данных размером ${\displaystyle 2^{k}=N}$, требуется произвести ${\displaystyle N\cdot \log _{2}N}$ вычислений операции 2-Radix «Бабочка».[1][2][3]

Иногда используются операции бабочка более высокого порядка: Radix-4, Radix-8. Radix-4 является примерно на 20% более эффективным для преобразования Фурье большого количества данных. Операция большего порядка чем 8 практически не используется из-за незначительных приростов производительности и трудностей в реализации (ресурсоемкости).[4][5]

Сходная структура может применяться в реализациях алгоритма Витерби (операция ACS - Add-Compare-Select)[6].

Примечания

1. Реализация целочисленного БПФ на процессорах с архитектурой ARM // Схемотехника №3 март 2001
2. Л. Рабинер и Б. Гоулд "Теория и применение цифровой обработки сигналов".
3. Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 29 декабря 2012. Архивировано из оригинала 14 августа 2003 года.
4. http://www.ece.ucdavis.edu/~bbaas/281/slides/Handout.fft2.pdf Архивная копия от 6 декабря 2012 на Wayback Machine Higher Radices
5. http://www.cmlab.csie.ntu.edu.tw/cml/dsp/training/coding/transform/fft.html Архивная копия от 30 апреля 2010 на Wayback Machine Radix-4 FFT Algorithm; Figure TC.3.9 Basic butterfly computation in a radix-4 FFT algorithm
6. Implementing the Viterbi Algorithm in Today's Digital Communications Systems Архивная копия от 25 декабря 2012 на Wayback Machine // Design And Reuse (EETimes): "Viterbi ACS instructions are based on the Viterbi butterfly structure and symmetry. The structure is called “butterfly” due to its physical resemblance to the animal.", Figures 8-10

Ссылки

• Chapter 12: The Fast Fourier Transform (The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, By Steven W. Smith); перевод