Аксиомы Биркгофа

Аксиомы Биркгофа — система из четырёх постулатов в евклидовой геометрии. Эти постулаты основаны на утверждениях, которые можно проверить, проводя измерения с помощью транспортира и линейки.

В формулировке постулатов используются вещественные числа. Поэтому система постулатов Биркгофа напоминает введение евклидовой геометрии при помощи модели.

История

Предложена Джорджем Биркгофом[1]. Биркгоф участвовал в написании школьного учебника с использованием этой системы аксиом.[2] Эта система повлияла на систему аксиом, разработанную School Mathematics Study Group^[англ.] для американской школы.

Несколько более поздних книг по основаниям геометрии, книги [3], [4] и [5] использует аксиоматику, близкую к Биркгофовской.

Постулаты

Постулат I: Множество точек {A, B, …} на любой прямой допускает биекцию на вещественные числа {a, b, … }, так что

${\displaystyle |b-a|=d(A,B)}$

для всех точек A и B.

Постулат II: Существует одна и только одна прямая ℓ, которая содержит любые две различные точки Р и Q.

Постулат III: Множество лучей {ℓ,m, n,…} с началом в любой точке O допускает биекцию на множество вещественных чисел по модулю 2π так, что если A и B — точки (отличные от О) на лучах ℓ и m соответственно, то ${\displaystyle a_{m}-a_{\ell }\equiv \angle AOB{\pmod {2\cdot \pi }}}$. Кроме того, если точка B на m двигается непрерывно вдоль прямой р, не содержащей вершину О, то число a_m также меняется непрерывно.

Постулат IV. Предположим, два треугольника ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle A'B'C'}$ таковы, что ${\displaystyle d(A',B')=k\cdot d(A,B)}$, ${\displaystyle d(A',C')=k\cdot d(A,C)}$ для некоторого вещественного числа ${\displaystyle k>0}$ и ${\displaystyle \angle B'A'C'=\pm \angle BAC{\pmod {2{\cdot }\pi }}}$, тогда ${\displaystyle d(B',C')=k\cdot d(B,C)}$, ${\displaystyle \angle A'C'B'=\pm \angle ACB{\pmod {2{\cdot }\pi }}}$ и ${\displaystyle \angle C'B'A'=\pm \angle CBA{\pmod {2{\cdot }\pi }}}$.

См. также

• Аксиоматика Гильберта
• Аксиоматика Александрова
• Евклидова геометрия

Примечания

1. Birkhoff, George David (1932), "A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)", Annals of Mathematics, 33: 329–345, doi:10.2307/1968336
2. Birkhoff, George David; Beatley, Ralph (2000) [first edition, 1940], Basic Geometry (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
3. Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), The non-Euclidean, hyperbolic plane: its structure and consistency, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9
4. Martin, George E. The foundations of geometry and the non-Euclidean plane. ISBN 0-387-90694-0
5. Anton Petrunin. Euclidean plane and its relatives; a minimalistic introduction. — 2017. — ISBN 978-1974214167. Архивировано 27 февраля 2018 года.