Аксиома А

Аксиома A — условие на динамическую систему: неблуждающее множество гиперболично, а периодические точки в нём плотны. Предложена Стивеном Смейлом в 1967 году[1].

Описывает класс динамических систем, сохраняющих структуру при малых возмущениях, более широкий, чем системы Морса — Смейла^[англ.], в которых число периодических точек конечно и выполнено «сильное условие трансверсальности» — чтобы все соответствующие устойчивые и неустойчивые многообразия имели только трансверсальные пересечения. Классический пример динамической системы, удовлетворяющей аксиоме A, но не являющейся системой Морса — Смейла — подкова Смейла с бесконечным числом периодических точек и положительной топологической энтропией. В дальнейшем установлено, что объединение аксиомы A с сильным условием трансверсальности необходимо и достаточно для структурной устойчивости системы[2].

Всякий диффеоморфизм Аносова ${\displaystyle f\colon M\to M}$ удовлетворяет аксиоме A, в этом случае, всё многообразие ${\displaystyle M}$ гиперболично; вопрос о том, гиперболично ли множество блуждающих точек ${\displaystyle \Omega (f)}$, открыт.

Примечания

1. S. Smale S. Differentiable Dynamical Systems (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. — Vol. 73, no. 6. — P. 747–817. — doi:10.1090/s0002-9904-1967-11798-1.
2. Д. В. Аносов. О развитии теории динамических систем. Грубые системы // Лекции МЦНМО. — 1998. Архивировано 30 июня 2007 года.

Литература

• Грубая система — статья из Математической энциклопедии. Д. В. Аносов