Sigma-algebră

Sigma-algebra reprezintă o noțiune de bază în cadrul teoriei măsurii. Are aplicații în teoria probabilității și în stocastică.

Definiție

Considerăm mulțimea ${\displaystyle \Omega }$. Notăm ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ mulțimea submulțimilor acesteia. Atunci o submulțime ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$, i.e. ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ se numește "σ- Algebră" dacă:

1. Mulțimea de bază ${\displaystyle \Omega \,}$ este element al lui ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ :

${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}}$ .

2. Dacă ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ conține o mulțime A, atunci conține și complementara acesteia ${\displaystyle A^{c}=\Omega \setminus A}$ :

${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}}$

3. Dacă un număr infinit de mulțimi aparțin lui ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ , atunci și reuniunea acestora va fi element al lui ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ :

${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{A_{n}}\in {\mathcal {A}}}$

Consecințe

• Din condițiile 1 și 2 rezultă:

${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {A}}}$ .

• Dacă ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ unde ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , atunci din legile lui De Morgan rezultă:

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }{A_{n}}=\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{A^{\mathrm {c} }}\right)^{c}}$ .

• De aici rezultă imediat că, dacă ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}}$ , atunci:

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }{A_{n}}\in {\mathcal {A}}}$ .

• Dacă ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ atunci

${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}}$ .

Așadar, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ este închisă în raport cu diferența mulțimilor.

Exemple

• σ- algebră trivială (discretă):

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$ .

• σ - algebră grosieră:

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ .

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957

Vezi și

• Măsura Lebesgue
• Algebră boreliană

Legături externe

• en Sigma-algebră la Planetmath Arhivat în 13 februarie 2008, la Wayback Machine.
• fr Curs referitor la sigma-algebră Arhivat în 7 noiembrie 2010, la Wayback Machine.