Sferă

Pentru alte sensuri, vedeți Sferă (dezambiguizare).

O sferă în care raza este notată „r”

Sfera (din greacă σφαίρα - sphaira) este suprafața unei bile. În spațiul euclidian 3-dimensional, sfera este mulțimea punctelor care se află la o distanță r (raza sferei) de un punct c (centrul sferei), unde r este un număr real pozitiv. În cazul particular în care r=1 sfera se numește sferă unitate.

În limbaj colocvial, noțiunea de sferă se folosește adesea pentru un corp geometric mărginit de sferă. În limbaj matematic un astfel de obiect se numește bilă.

Ecuații în R^3

În geometria analitică sfera de centrul c=(x₀, y₀, z₀) și rază r>0 este locul geometric al punctelor care satisfac ecuația (implicită)

${\displaystyle \,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

Dacă considerăm metrica euclidiană din R^3 atunci ecuația de mai sus nu inseamnă altceva decât că toate punctele sferei se află la aceași distanță r de punctul c.

Considerând un sistem ortonormat de coordonate, sfera (ca suprafață 2-dimensională) poate fi exprimată prin ecuațiile parametrice

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+r\cos \varphi \;\sin \theta \\y=y_{0}+r\sin \varphi \;\sin \theta \qquad (0\leq \varphi \leq 2\pi {\text{ si }}0\leq \theta \leq \pi )\\z=z_{0}+r\cos \theta \end{cases}}}$

Pentru fiecare valoare a parametrului θ se obține un cerc de pe sferă - astfel de cercuri se numesc paralele. Asemănător, pentru parametrul φ se obțin cercuri numite meridiane. Pentru θ=0 respectiv θ=π cercurile obținute sunt degenerate - aceste două puncte sunt polul nord (x₀, y₀, z₀ + r) respectiv polul sud (x₀, y₀, z₀ - r).

Pentru o sferă cu raza r>0 aria suprafeței este

${\displaystyle A=4\pi r^{2}\,}$

iar volumul este

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$.

Proprietăți

Prin secțiuni plane ale sferei se obțin cercuri

Dacă se consideră un plan tangent la sferă se obține un cerc degenerat, adică un punct.

Toate Geodezicele sferei sunt drumuri închise

Geodezicele sferei sunt cercurile mari, adică cercurile obținute din secțiuni cu plane care conțin centrul sferei.

Dintre toate solidele cu un volum dat, sfera are cea mai mică arie a suprafeței

Pentru o arie dată, sfera de acea arie înconjoară cel mai mare volum.

Sfera este invariată în grupul de rotații

Considerând o sferă cu centrul în origine, grupul de rotații SO(3) transformă sfera în ea însăși.

Generalizări

Având în vedere spațiul ambient al sferei, cât și noțiunea de distanță se pot obține următoarele generalizări

• Sfera S^n din spațiul euclidian (n+1)-dimensional R^n+1 de centru c=(c₁, c₂,..., c_n+1) și rază r este mulțimea punctelor din R^n+1 care satisfac ecuația

${\displaystyle \,(x_{1}-c_{1})^{2}+(x_{2}-c_{2})^{2}+...+(x_{n+1}-c_{n+1})^{2}=r^{2}.}$.

• Într-un spațiu metric oarecare (X,d) sfera de centru c și rază r este

${\displaystyle \{x\in X:d(x,c)=r\}}$.

• Într-un spațiu topologic oarecare, o n-sferă este o submulțime a spațiului homeomorfă cu S^n pentru un număr natural n.

Topologie

Topologia este o ramură a matematicii, mai precis o extensie a geometriei, care studiază deformările spațiului prin transformări continue.[1][2] Vom considera spațiul euclidian 3-dimensional, notat cu E₃.

Sfera din punct de vedere geometric si topologic

Definiție:Fie O є E₃ și r є R.Se numește sfera cu centrul O și raza r figura S(O,r):= {M є E₃ / δ(O;M)=r};^[necesită citare] Se numește corpul (discul) sferic sau bila cu centrul O și raza r, figura B(O,r):= {M є E₃ / δ(O;M)≤r};^[necesită citare] Se numește interiorul corpului sferic B(O,r), figura (B(O,r)):= {M є E₃ / δ(O;M)<r};^[necesită citare] Se numește exteriorul corpului sferic B(O,r), figura (B(O,r)):= {M є E₃ / δ(O;M)>r};^[necesită citare] Orice sferă din S(O,r) din E₃ este o figură nevidă; fiecare semidreaptă [OX conține exact un punct al lui S(O,r), iar o dreaptă care conține centrul O (normala, dreapta diametrala) intersectează sfera S(O,r) în doua puncte (diametral opuse). Sfera nu este o figură convexa, corpul sferic și interiorul său sunt figuri convexe.^[necesită citare] Dacă S(O,r) este o sferă și α єP este un plan diametral sau normal al lui S(O,r), (O є α), atunci S(O,r) intersectat cu α=:С(O;r) este un cerc, numit cerc mare(ecuator) al lui S(O,r).^[necesită citare]

Observație: 1.Fie A,B є S(O,r) și α Є P. Două din condițiile următoare implică pe cea de-a treia:^[necesită citare]

• 1. α este perpendicular pe coarda [AB];^[necesită citare]
• 2. α este plan diametral;^[necesită citare]
• 3. α conține mijlocul lui [AB];^[necesită citare]

Orice dreaptă diametrală (respectiv plan diametral) este o axă de simetrie (respectiv plan de simetrie) a sferei S(O;r).^[necesită citare] Exista trei poziții relative posibile ale unui cuplu sferă-dreaptă.^[necesită citare] Fie sfera S(O;r) și dreapta d Є D. d se numește tangenta, respectiv secanta, respectiv exterioara la C(O;r), dacă d intersectează C(O;r) conține un punct, respectiv conține doua puncte, respectiv este mulțimea vidă.
^[necesită citare]

Teorema 1.(Sferă-dreaptă).Fie sfera S(O;r) și dreapta d Є D.^[necesită citare]

1. d este secanta la S(O;r)<=> δ(O,d)< r^[necesită citare]
2. d este exterioara la S(O;r)<=> δ(O,d)> r^[necesită citare]
3. d este tangenta la S(O;r)<=> δ(O,d)= r^[necesită citare]

Observații 2.

a) O tangentă la sferă este perpendiculară pe baza sferei în punctul de contact.^[necesită citare]

b) O dreaptă este tangentă într-un punct la sferă dacă și numai dacă ea este tangentă la un cerc mare al sferei, în punctul respectiv.^[necesită citare]

c) Fiecare punct al sferei este centrul unui fascicul de drepte coplanare, care sunt tangente la sfera în acel punct.^[necesită citare]

Exista, de asemenea, trei poziții posibile ale unui plan în raport cu o sferă.^[necesită citare] Fie sfera S(o,r) și planul α Є P, α se numește plan tangent, respectiv plan secant, respectiv plan exterior la S(O,r), daca α intersectat cu S(O,r) este un punct, respectiv un cerc, respectiv mulțimea vidă.
^[necesită citare]

Teorema 2.(Sferă-plan).Fie sfera S(O,r) și planul α Є P.

1. α este un plan secant la S(O,r) <=> δ(O,α)< r;^[necesită citare]
2. α este un plan exterior la S(O,r) <=> δ(O,α)> r;^[necesită citare]
3. α este un plan tangent la S(O,r) <=> δ(O,α)= r;^[necesită citare]

Observație 3. In fiecare punct al sferei exista un plan tangent unic la sferă; acesta conține toate tangentele la sferă în punctul respectiv. Perpendiculara pe planul tangent la sfera în punctul de contact este normala sferei în punctul de contact.^[necesită citare]

Observație 4. Dacă o sferă conține trei puncte, atunci ea conține cercul determinat de aceste puncte.^[necesită citare] Într-adevăr, dacă punctele aparțin sferei, atunci ele sunt necoliniare și determină un plan care intersectează sfera după cercul determinat de cele trei puncte.^[necesită citare] Iată câteva moduri în care poate fi determinata o sfera.^[necesită citare]

Observație 5. Date trei puncte necoliniare, A,B,C, locul geometric al centrelor sferelor care conțin pe A,B,C este perpendiculara pe planul ABC în punctul de intersecție al mediatoarelor triunghiului ABC.^[necesită citare]

Teorema 3. Locul geometric al centrelor sferelor care conțin un cerc dat este normala pe planul cercului în centrul acestuia.^[necesită citare]

Teorema 4. Doua cercuri necoplanare, care se intersectează, determina o sferă unică.^[necesită citare]

Corolar 1. Un cerc și un punct exterior planului său determină o sferă unică.^[necesită citare]

Corolar 2. Exista o sferă unică, care conține patru puncte necoplanare date.
^[necesită citare] Spațiul euclidian E₃ este un spațiu metric, cu metrica (distanța) δ : E₃ X E₃ -> R , introdusă prin axiomatica geometriei euclidiene în spațiu.^[necesită citare] Proprietățile distanței, precum și maniera în care poate fi calculată au fost stabilite ulterior prin: axioma riglei, existenta sistemelor de coordinate carteziene ortogonale în plan și în spațiu, teorema lui Pitagora.^[necesită citare]

Daca E₃ este raportat la un s.c.c.o OXYZ și S(O,r)={ Mє E₃ / δ(O,M)=r} este sfera cu centrul O și de raza r > 0, atunci se poate considera S(O,r) ca o suprafață în spațiul euclidian. O parametrizare a lui S(O,r) poate fi definită prin relațiile:

(u,v) Є ( -Π/2;Π/2 X [0,2Π)

care se numesc ecuațiile parametrice ale sferei S(O,r).^[necesită citare]

Note

1. Marcu, Florin (2000). Marele dicționar de neologisme. Editura Saeculum. 
2. Gavriluț, Alina. „Topologie. Fundamente și aplicații” (PDF). p. 6. Accesat în 26 ianuarie 2025. 

Legături externe

• Wolfram MathWorld
• Hronicul si cantecul sferelor, 9 august 2007, Andreea Zaporojanu, Descoperă