Paralelă Clifford

În geometria eliptică două linii sunt paralele Clifford dacă distanța (perpendiculară) dintre ele este constantă pentru orice punct. Conceptul a fost studiat pentru prima dată de William Kingdon Clifford în spațiul eliptic și apare doar în spații cel puțin tridimensionale. Deoarece dreptele paralele au proprietatea de a fi echidistante, termenul „paralele” a fost preluat din geometria euclidiană, deși „dreptele” geometriei eliptice sunt curbe geodezice și, spre deosebire de dreptele din geometria euclidiană, au o lungime finită.

Algebra cuaternionilor oferă o geometrie care descrie spațiului eliptic în care paralelismul Clifford este explicit.

Istoric

Paralelele Clifford au fost descrise pentru prima dată în 1873 de către matematicianul englez William Kingdon Clifford.[1]
În 1900 Guido Fubini și-a scris teza de doctorat despre „Paralelismul Clifford în spații eliptice”.[2]
În 1931 Heinz Hopf a folosit paralelele Clifford pentru a dezvolta fibratul Hopf^⁠(d).[3]
În 2016 Hans Havlicek a arătat că există o corespondență biunivocă între paralelismele Clifford și planele externe cuadricei Klein.[4]

Descriere

Liniile cu lungimea 1 din spațiul eliptic sunt descrise de versori cu axa fixă r:[5]

${\displaystyle \lbrace e^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace }$

Pentru un punct arbitrar u în spațiul eliptic, două paralele Clifford la această linie trec prin u. Paralela Clifford la linie este

${\displaystyle \lbrace ue^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace ,}$

iar cea la stânga este

${\displaystyle \lbrace e^{ar}u:\ 0\leq a<\pi \rbrace .}$

Generalizarea paralelismului Clifford

Definiția inițială a lui Clifford era pentru liniile paralele curbe, dar conceptul a fost generalizat la obiectele paralele Clifford cu mai mult de o dimensiune.[6] În spațiul euclidian cvadridimensional, obiectele paralele Clifford cu 1, 2, 3 sau 4 dimensiuni sunt legate prin rotații izoclinice. Paralelismul Clifford și rotațiile izoclinice sunt aspecte strâns legate de simetriile SO(4) care caracterizează 4-politopurile regulate.

Suprafețe Clifford

Rotirea unei linii în jurul alteia, cu care este paralelă Clifford, creează o suprafață Clifford.

Paralelele Clifford prin punctele de pe suprafață se află toate pe suprafață. Ca urmare, o suprafață Clifford este o suprafață riglată^⁠(d) deoarece orice punct se află pe două linii, fiecare aflându-se pe suprafață.

Fiind date două rădăcini pătrate ale lui −1 exprimate în cuaternioni prin r și s, suprafața Clifford prin ele este dată de[5][7]

${\displaystyle \lbrace e^{ar}e^{bs}:\ 0\leq a,b<\pi \rbrace .}$

Note

1. en William Kingdon Clifford (1882) Mathematical Papers, 189–93, Macmillan & Co.
2. de Guido Fubini (1900) Clifford Parallelism in Elliptic Spaces, Laurea thesis, Pisa, traducere în engleză: D.H. Delphenich
3. en Roger Penrose; The Road to Reality, Vintage, 2005, pp.334-6. (First published Jonathan Cape, 2004).
4. en Hans Havlicek (2016) "Clifford parallelisms and planes external to the Klein quadric", Journal of Geometry 107(2): 287 to 303 MR3519950
5. ^ fr Georges Lemaître (1948) "Quaternions et espace elliptique", Acta Pontifical Academy of Sciences 12:57–78
6. en Tyrrell, Semple, 1971, §3. Clifford's original definition of parallelism, p. 5–6
7. en H.S.M. Coxeter English synopsis of Lemaître în Mathematical Reviews

Bibliografie

• en Tyrrell, J. A.; Semple, J.G. (1971). Generalized Clifford parallelism. Cambridge University Press. ISBN 0-521-08042-8. 
• en Laptev, B.L. & B.A. Rozenfel'd (1996) Mathematics of the 19th Century: Geometry, page 74, Birkhäuser Verlag ISBN: 3-7643-5048-2 .
• en Duncan Sommerville (1914) The Elements of Non-Euclidean Geometry, page 108 Paratactic lines, George Bell & Sons
• en Frederick S. Woods (1917) Higher Geometry, "Clifford parallels", page 255, via Internet Archive

Vezi și

• Tor Clifford^⁠(d)
• 4-politop regulat