Minor (algebră liniară)

Dezvoltarea lui Laplace a unei Matrice pe Coloane

În algebra liniară, conceptele de minor și complement algebric sunt necesare dezvoltării unui determinant cu ajutorul teoremei lui Laplace.

Fie ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ o matrice de ordinul n. Prin minorul complementar al elementului ${\displaystyle a_{ij}}$ se înțelege determinantul de ordinul n-1 și notat ${\displaystyle D_{ji}.}$ Complementul algebric al lui ${\displaystyle a_{ij}}$ este numărul ${\displaystyle \alpha _{ij}=(-1)^{i+j}D_{ji}.}$

Există relațiile:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{kj}=D\delta _{ij},\;\;\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{jk}=D\delta _{ij},\;\delta _{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j,\\1,&i=j.\end{cases}}}$

Pentru ${\displaystyle i=j}$ se obține:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{ik}\cdot \alpha _{ki}=D,\;\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{ik}}$

(formule de dezvoltare a determinantului după elementele unei linii sau unei coloane)

Fie acum un ${\displaystyle r<n.}$ Se numește minor de ordinul r în ${\displaystyle \mathbf {D} }$ un determinant ${\displaystyle M,}$ format cu r linii și r coloane din ${\displaystyle \mathbf {D} .}$ Se numește minor complementar minorului ${\displaystyle M}$ de ordin r, minorul ${\displaystyle N}$ obținut din ${\displaystyle \mathbf {D} }$ prin suprimarea celor r linii și r coloane ale lui ${\displaystyle M.}$ Complementul algebric al minorului ${\displaystyle M}$ este numărul ${\displaystyle M'=(-1)^{s(M)}\cdot N,\;\;s(M)}$ fiind suma indicilor liniilor și coloanelor care determină ${\displaystyle M.}$

Exemplu

Pentru determinantul ${\displaystyle D={\begin{vmatrix}2&3&-1\\-6&-5&0\\2&7&4\end{vmatrix}},}$ complementele algebrice ai elementelor acestuia sunt:

${\displaystyle \alpha _{11}=-5\cdot 4=-20,\;\alpha _{12}=-(-6)\cdot 4=24,\;\alpha _{13}=-6\cdot 7-[2\cdot (-5)]=-32,}$

${\displaystyle \alpha _{21}=-(3\cdot 4+7\cdot 1)=-21,\;\alpha _{22}=8+2=10,\;\alpha _{23}=-(14-6)=-8,}$

${\displaystyle \alpha _{31}=-5,\;\alpha _{32}=6,\;\alpha _{33}=-2\cdot 5+6\cdot 3=8.}$