Matrice cu toate elementele 1

În algebra liniară, o matrice cu toate elementele 1[1] este o matrice în care fiecare element are valoarea 1.[2] Exemple de astfel de matrici:

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

Unele surse numesc aceste matrici „matrice unitate”,[3], dar acest termen este folosit de obicei pentru matrici de alt tip.

Un vector cu toate elementele 1 este o matrice cu toate elementele 1, având o singură linie sau o singură coloană. Ei nu trebuie confundați cu versorii.

Proprietăți

O matrice J de dimensiuni n × n cu toate elementele 1 are următoarele proprietăți:

• Urma lui J este egală cu n,[4] și determinantul este 0 pentru n ≥ 2, dar 1 pentru n = 1. (Se poate lua în considerare și cazul n = 0, caz în care este vorba de o matrice vidă, al cărei determinant este 1.)
• Polinomul caracteristic^⁠(d) al J este ${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$.
• Polinomul minimal^⁠(d) al J este ${\displaystyle x^{2}-nx}$.
• Rangul matricei J este 1, iar vectorii proprii sunt n (cu multiplicitatea 1) și 0 (cu multiplicitatea n − 1).[4][5]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$ pentru ${\displaystyle k=1,2,\ldots \,.}$[6]
• J este elementul neutru pentru produsul Hadamard.[7]

Dacă J este o matrice ale cărei elemente sunt numere reale, acestea au și următoarele proprietăți:

• J este o matrice pozitivă semidefinită^⁠(d).
• Matricea ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$ este idempotentă.[6]
• Exponențiala^⁠(d) lui J este ${\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.}$

Aplicații

Matricea cu toate elementele 1 apare des în domeniul matematic al combinatoricii, în special prin aplicarea metodelor algebrice la teoria grafurilor. De exemplu, dacă A este matricea de adiacență a unui graf neorientat G cu n noduri, iar J este matricea cu toate elementele 1 de aceeași dimensiune, atunci G este un graf regulat dacă și numai dacă AJ = JA.[8] Un alt exemplu este că matricea apare în unele demonstrații algebrice ale formulei lui Cayley, care oferă numărul arborilor de acoperire^⁠(d) ai unui graf complet, folosind teorema lui Kirchhoff^⁠(d).

Note

1. Tiberiu Vasile Trif, Analiză matematică, Cluj-Napoca, Ed. Casa Cărții de Știință, 2017, ISBN: 978-606-17-1102-4, p. 18
2. Horn, Johnson, 2012, p. 8
3. en Eric W. Weisstein, Unit Matrix la MathWorld.
4. ^ en Stanley, Richard P. (2013), Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, ISBN 9781461469988 .
5. Horn, Johnson, 2012, p. 65
6. ^ en Timm, Neil H. (2002), Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer, p. 30, ISBN 9780387227719 
7. en Smith, Jonathan D. H. (2011), Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, p. 77, ISBN 9781420063721 .
8. en Godsil, Chris (1993), Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, ISBN 9780412041310 

Bibliografie

• en Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), „0.2.8 The all-ones matrix and vector”, Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 8, ISBN 9780521839402