Funcție concavă

În matematică o funcție reală de variabilă reală este concavă pe un interval atunci când graficul său se află deasupra dreptei care unește punctele ce reprezintă valorile funcției la extremitățile intervalului.

Funcțiile concave jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exemplu în probleme de optimizare, în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder, și în rezolvarea anumitor ecuații.

Definiție

O funcție reală de variabilă reală ${\displaystyle f}$ pe un interval (sau, mai general, o mulțime într-un spațiu vectorial) se spune că este concavă dacă pentru orice ${\displaystyle x}$ și ${\displaystyle y}$ din interval și pentru orice ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$,[1]

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

Se spune că o funcție este strict concavă[2] dacă

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

pentru orice ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ și ${\displaystyle x\neq y}$.

Pentru o funcție ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, această a doua definiție afirmă doar că pentru fiecare ${\displaystyle z}$ strict între ${\displaystyle x}$ și ${\displaystyle y}$, punctul ${\displaystyle (z,f(z))}$ de pe graficul lui ${\displaystyle f}$ este deasupra dreptei care unește punctele ${\displaystyle (x,f(x))}$ și ${\displaystyle (y,f(y))}$.

Proprietăți

1. O funcție derivabilă f este (strict) concavă pe un interval dacă și numai dacă derivata sa ${\displaystyle f^{\prime }}$ este (strict) monoton descrescătoare pe acel interval, adică o funcție concavă are o pantă necrescătoare (descrescătoare).[3][4]

2. Punctele în care concavitatea se modifică între concav și convex sunt puncte de inflexiune.[5]

3. Dacă ${\displaystyle f}$ este derivabilă de două ori, atunci dacă ${\displaystyle f}$ este concavă, ${\displaystyle f^{\prime \prime }}$ este negativă. Dacă funcția este strict concavă, derivata sa de ordinul al doilea este strict negativă. Dar inversa nu este adevărată, așa cum se vede din ${\displaystyle f(x)=-x^{4}.}$

4. Dacă f este concavă și derivabilă, atunci este mărginită superior de aproximația lui Taylor^⁠(d) de ordinul întâi:[6]

${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$

5. O funcție măsurabilă Lebesgue pe un interval C este concavă dacă și numai dacă este concavă la mijloc, adică pentru orice x și y din C

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$

6. Dacă o funcție f este concavă și f(0) ≥ 0, atunci f este subaditivă^⁠(d) pe ${\displaystyle [0,\infty )}$.

Demonstrație:

• Deoarece f este concavă și 1 ≥ t ≥ 0, pentru y = 0 se obține

${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$

• Pentru ${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$:

${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$

Exemple

• Funcțiile ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ și ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ sunt concave pe domeniile lor, ca și derivatele lor secundare ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=-2}$ și ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$ care sunt întotdeauna negative.
• Funcția logaritm ${\displaystyle f(x)=\log {x}}$ este concavă pe domeniul său ${\displaystyle (0,\infty )}$, iar derivata ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ este o funcție strict descrescătoare.
• Orice funcție afină ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ este atât concavă, cât și convexă, dar nici strict concavă, nici strict convexă.
• Funcția sinus este concavă pe intervalul ${\displaystyle [0,\pi ]}$.
• Funcția ${\displaystyle f(B)=\log |B|}$, unde ${\displaystyle |B|}$ este determinantul unei matrice nenegativ-definită B, este concavă.[7]

Note

1. en Lenhart, S.; Workman, J. T. (2007). Optimal Control Applied to Biological Models. Mathematical and Computational Biology Series. Chapman & Hall/ CRC. ISBN 978-1-58488-640-2. 
2. Mădălina Buneci, Metode de Optimizare Cap.IV.7 Funcții convexe, Universitatea Constantin Brâncuși din Târgu Jiu, p. 1, accesat 2023-09-05
3. en Rudin, Walter (1976). Analysis. p. 101. 
4. en Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M.; Hays, D. F. (1 iulie 1976). „Table of Integrals, Series, and Products”. Journal of Lubrication Technology. 98 (3): 479. doi:10.1115/1.3452897 . ISSN 0022-2305. 
5. en Hass, Joel (13 martie 2017). Thomas' calculus. Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D.,, Thomas, George B., Jr. (George Brinton), 1914-2006. (ed. Fourteenth). [United States]. p. 203. ISBN 978-0-13-443898-6. OCLC 965446428. 
6. en Varian, Hal R. (1992). Microeconomic analysis (ed. 3rd). New York: Norton. p. 489. ISBN 0-393-95735-7. OCLC 24847759. 
7. en Cover, Thomas M.; Thomas, J. A. (1988). „Determinant inequalities via information theory”. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 9 (3): 384–392. doi:10.1137/0609033. 

Lectură suplimentară

• en Crouzeix, J.-P. (2008). „Quasi-concavity”. În Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics (ed. Second). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5. 
• en Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. p. 779. ISBN 978-0-470-18352-6. 

Vezi și

• Poligon concav