Funcția zeta Artin–Mazur

În matematică funcția zeta Artin–Mazur este o funcție utilizată pentru a studia funcțiile iterate care apar în sistemele dinamice și în fractali. Este numită astfel după matematicienii Michael Artin și Barry Mazur.

Este definită printr-o funcție ${\displaystyle f}$ sub formă de serie de puteri

${\displaystyle \zeta _{f}(z)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}\operatorname {Fix} (f^{n}){\bigr |}{\frac {z^{n}}{n}}\right),}$

unde ${\displaystyle \operatorname {Fix} (f^{n})}$ este mulțimea de puncte fixe a celei de a ${\displaystyle n}$-a iterație a funcției ${\displaystyle f}$, iar ${\displaystyle |\operatorname {Fix} (f^{n})|}$ este numărul de puncte fixe (adică cardinalitatea acelei mulțimi).

Funcția zeta este definită numai dacă mulțimea de puncte fixe este finită pentru fiecare ${\displaystyle n}$. Această definiție este formală prin faptul că seria nu are întotdeauna o rază de convergență^⁠(d) pozitivă.

Funcția zeta Artin–Mazur este invariantă față de conjugarea topologică.

Funcții analoage

Funcția zeta Artin–Mazur este formal similară cu funcția zeta locală, când un difeomorfism pe o varietate compactă înlocuiește aplicațiile de tip Frobenius ale unei varietăți algebrice^⁠(d) peste un corp finit.

Funcția zeta Ihara a unui graf poate fi dată ca un exemplu de funcție zeta Artin–Mazur.

Bibliografie

• en Artin, Michael; Mazur, Barry (1965), „On periodic points”, Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 81 (1): 82–99, doi:10.2307/1970384, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970384, MR 0176482 
• en Ruelle, David (2002), „Dynamical zeta functions and transfer operators” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 49 (8): 887–895, MR 1920859 
• en Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu (2000), „Zeta functions of finite graphs”, J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 7: 7–25 
• en Terras, Audrey (2010), Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 128, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11367-0, Zbl 1206.05003