Câmp de viteze

În mecanica mediilor continue, în dinamica fluidelor viteza curgerii, iar în mecanica statistică viteza macroscopică[1][2][3], este un câmp vectorial folosit pentru a descrie matematic mișcarea unui continuum. Valoarea lungimii vectorului viteză a curgerii este un scalar, numit câmp de viteze[4] (sau câmp de viteză[5]). Atunci când câmpul este evaluat de-a lungul unei drepte se numește profil de viteză.[5]

Definiție

Viteza curgerii u a unui fluid este un câmp vectorial

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t),}$

care dă viteza unui element de fluid într-o poziție ${\displaystyle \mathbf {x} }$ la momentul de timp ${\displaystyle t.}$ Valoarea vitezei curgerii q este lungimea vectorului viteza curgerii[6]

${\displaystyle q=\|\mathbf {u} \|}$

și este un câmp scalar.

Utilizări

Viteza de curgere a unui fluid descrie complet mișcarea unui fluid. Multe proprietăți fizice ale unui fluid pot fi exprimate matematic în funcție de viteza curgerii. Urmează câteva exemple cunoscute.

Curgere staționară

Se spune că o curgere este staționară dacă ${\displaystyle \mathbf {u} }$ nu variază în timp, adică

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}=0.}$

Curgere incompresibilă

Articol principal: Curgere incompresibilă

Dacă o curgere este incompresibilă, atunci divergența lui ${\displaystyle \mathbf {u} }$ is zero:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Adică dacă ${\displaystyle \mathbf {u} }$ este un câmp solenoidal.

Curgere irotațională

Articol principal: Curgere potențială

O curgere este este irotațională dacă rotorul lui ${\displaystyle \mathbf {u} }$ este zero:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =0.}$

Adică dacă ${\displaystyle \mathbf {u} }$ este un câmp vectorial conservativ^⁠(d).

O curgere irotațională într-un domeniu simplu conex poate fi descrisă ca fiind potențială, prin utilizarea potențialului vitezei ${\displaystyle \Phi ,}$ cu ${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \Phi .}$ Dacă fluxul este atât irotațional, cât și incompresibil, laplacianul potențialului vitezei trebuie să fie zero: :${\displaystyle \Delta \Phi =0.}$

Vorticitate

Articol principal: Vorticitate

Vorticitatea unei curgeri, ${\displaystyle \omega }$, poate fi definită în funcție de viteza curgerii prin

${\displaystyle \omega =\nabla \times \mathbf {u} .}$

Dacă vorticitatea este zero, curgerea este irotațională.

Potențialul vitezei

Articol principal: Potențialul vitezei

Dacă o curgere irotațională se efectuează într-un domeniu simplu conex, atunci există un câmp scalar ${\displaystyle \phi }$ astfel încât

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \mathbf {\phi } .}$

Câmpul scalar ${\displaystyle \phi }$ se numește potențialul vitezei curgerii.

Viteza medie

În multe aplicații de inginerie viteza locală a curgerii câmpului vectorial ${\displaystyle \mathbf {u} }$ nu este cunoscută în fiecare punct și singura viteză accesibilă este viteza medie a curgerii, ${\displaystyle {\bar {u}},}$ (cu dimensiunea uzuală lungime/timp), definită ca raportul dintre debitul volumic ${\displaystyle {\dot {V}}}$ (cu dimensiunea lungime la puterea a treia/timp) și aria secțiunii transversale ${\displaystyle A}$ (cu dimensiunea lungime la puterea a doua):

${\displaystyle {\bar {u}}={\frac {\dot {V}}{A}}}$.

Note

1. Teodor Silviu Groșan, Medii Poroase și Fenomene de Transfer Cap. II Metoda medierii (curs), Universitatea Babeș-Bolyai, accesat 2024-05-27
2. en Duderstadt, James J.; Martin, William R. (1979). „Chapter 4:The derivation of continuum description from transport equations”. În Wiley-Interscience Publications. Transport theory. New York. p. 218. ISBN 978-0471044925. 
3. en Freidberg, Jeffrey P. (2008). „Chapter 10:A self-consistent two-fluid model”. În Cambridge University Press. Plasma Physics and Fusion Energy (ed. 1). Cambridge. p. 225. ISBN 978-0521733175. 
4. Ion Crăciun, Gheorghe Barbu, Ecuații diferențiale și cu derivate parțiale Arhivat în 17 iunie 2022, la Wayback Machine., vol. 2, Editura StudIS, 2013, ISBN: 978-606-624-307-0, p. 111
5. ^ Florin Ioan Bode, Simularea numerică a proceselor de transfer termic: Aplicații, Cluj-Napoca: Editura UTPRESS, 2021, ISBN: 978-606-737-505-3, p. 115
6. en Courant, Richard; Friedrichs, Kurt Otto (1999) [unabridged republication of the original edition of 1948]. Supersonic Flow and Shock Waves. Applied mathematical sciences (ed. 5th). Springer-Verlag New York Inc. pp. 24. ISBN 0387902325. OCLC 44071435.