Usuário(a):R. F. Camargo/Soluções de equações diferenciais

Exemplo 1:

Um oscilador harmônico sujeito a uma força pontual periódica. Esta força pode ser representada por uma função Delta de Dirac, logo a equação do oscilador é:

${\displaystyle y''+y=4\delta (t-2\pi )}$

${\displaystyle y(0)=1,y'(0)=0}$.

Aplicando Transformada de Laplace dos dois lados temos

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{y''+y\}={\mathcal {L}}\{4\delta (t-2\pi )\}}$

${\displaystyle S^{2}Y(S)-Sy(0)-y'(0)+Y(S)=4e^{-2S\pi }}$

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${\displaystyle Y(s)={\frac {s}{s^{2}+1}}+{\frac {4e^{2\pi s}}{s^{2}+1}}\,}$.

Agora aplicando a transformada inversa dos dois lados

${\displaystyle y(t)=cos(t)+4sen(t-2\pi )U(t-2\pi )\,}$.

Na qual ${\displaystyle U(t-2\pi )\,}$. é uma função degrau ou Função de Heaviside.

Exemplo 2

Molas Acopladas

Duas massas ${\displaystyle m_{1}}$ e ${\displaystyle m_{2}}$ estão presas a duas molas de massas desprezíveis, com constantes elásticas ${\displaystyle k_{1}}$ e ${\displaystyle k_{2}}$ respectivamente.

Sejam ${\displaystyle x_{1}(t)}$ e ${\displaystyle x_{2}(t)}$ os deslocamentos verticais das massas em relação a posição de equilíbrio, temos que o alongamento da mola B será ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$

Pela segunda lei de Newton temos

${\displaystyle m_{1}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}=-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1})\qquad {\mbox{e}}}$

${\displaystyle m_{2}{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}=-k_{2}(x_{2}-x_{1})}$

A solução desse problema via transformada integral se torna simples, pois através dela o problema se torna equivalente a um sistema de equações lineares.

EXEMPLO:

Sendo ${\displaystyle k_{1}=6}$, ${\displaystyle k_{2}=4}$ e ${\displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$, e dado que

${\displaystyle x_{1}(0)=x_{2}(0)=0}$ e ${\displaystyle x'_{1}(0)=-x'_{2}(0)=1}$ (condições)

Temos as seguintes EDO’s:

${\displaystyle x''_{1}+10x_{1}-4x_{2}=0}$

${\displaystyle x''_{2}-4x_{1}+4x_{2}=0}$

Aplicando transformada de Laplace nas duas equações temos:

${\displaystyle s^{2}X_{1}(s)-sx_{1}(0)-x'_{1}(0)+10X_{1}(s)-4X_{2}(s)=0}$

${\displaystyle s^{2}X_{2}(s)-sx_{2}(0)-x'_{2}(0)+4X_{2}(s)-4X_{1}(s)=0}$

Agora simplesmente resolvendo o sistema temos Utilizando as condições dadas em (condições)

${\displaystyle X_{1}={\frac {s^{2}}{(s^{2}+2)(s^{2}+12)}}=-{\frac {1/5}{s^{2}+2}}+{\frac {6/5}{s^{2}+12}}}$

Assim