Torção de uma curva

No geometria diferencial de curvas elementar em três dimensões, a torção de uma curva mede quão agudamente é torcida para fora do plano da curvatura. Tomada em conjunto, a curvatura e a torção de uma curva espacial são análogas à curvatura de uma curva plana. Por exemplo, elas são os coeficientes do sistema de equações diferenciais para o triedro de Frenet dado pelas fórmulas de Frenet-Serret.[1]

Definição

Animação da Torção e da rotação do vetor binormal correspondente

Definimos como uma curva no espaço a seguinte função

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(s)\,.}$

parametrizada pelo comprimento do arco ${\displaystyle s}$ e com vetor tangente unitário

${\displaystyle {\vec {t}}(s)={\vec {r}}\,'(s)\,.}$

Se a curvatura ${\displaystyle \kappa }$ da curva em um certo ponto é diferente de zero, então, neste ponto os vetores unitários, vetor normal ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$ e vetor binormal ${\displaystyle {\vec {b}}(s)}$ serão os seguintes:

${\displaystyle {\vec {n}}(s)={\frac {{\vec {t}}\,'(s)}{|{\vec {t}}\,'(s)|}}={\frac {{\vec {r}}\,''(s)}{|{\vec {r}}\,''(s)|}}\,.}$

${\displaystyle {\vec {b}}(s)={\vec {t}}(s)\times {\vec {n}}(s)}$

A torção ${\displaystyle \tau }$ mede a velocidade de rotação do vetor binormal no ponto escolhido. Ela pode ser encontrada de acordo com a seguinte equação

${\displaystyle \tau (s)=-{\vec {b}}\,'(s)\cdot {\vec {n}}(s)\,.}$

Significado geométrico: A torção ${\displaystyle \displaystyle \tau (s)}$ mede a velocidade do vetor binormal. Quanto maior for, mais rápido o vetor binormal gira em torno do eixo dado pelo vetor tangente. Podemos visualizar o seu significado na ilustração gráfica presente neste artigo, na qual o vetor tangente está representado na cor marrom, o vetor normal, em verde, e o vetor binormal, em azul. No gráfico, o valor da torção é representado pela cor azul, e, em verde, o valor da curvatura.

Definição Alternativa

Definimos r = r(t) como uma equação paramétrica de uma curva no espaço. Assumimos que a parametrização é regural e que a curvatura não desapareça. Se r(t) é uma função diferenciável três vezes em relação a t com valores no espaço R^3, e os vetores

${\displaystyle \mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)}$

são linearmente independentes, então, a torção pode ser calculada com a seguinte formula:

${\displaystyle \tau ={{\det \left({r',r'',r'''}\right)} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}={{\left({r'\times r''}\right)\cdot r'''} \over {\left\|{r'\times r''}\right\|^{2}}}.}$

na qual as derivadas são em respeito a t e o símbolo de multiplicação ${\displaystyle \times }$ representa o produto vetorial.

Referências

1. Paul Saurel; On the Torsion of a Curve]; Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 9, No. 3 (Apr., 1908), pp. 144-148.