Teoria de Mohr-Coulomb

A teoria de Mohr–Coulomb é um modelo matemático que descreve a resposta de materiais frágeis como o concreto a tensão cisalhante bem como tensão normal. A maior parte dos materiais clássicos de engenharia seguem de alguma forma esta regra em pelo menos uma porção de seu envelope de falha cisalhante. De forma geral a teoria se aplica a materiais para os quais a resistência à compressão excede em muito a resistência à tração.[1]

Em engenharia geotécnica a teoria é usada para definir resistência ao cisalhamento de solos e rochas a diferentes tensões efetivas.

Em engenharia estrutural a teoria é usada para determinar cargas de falha bem como o ângulo de fratura de um deslocamento de fratura em concreto e materiais similares. A hipótese de atrito de Coulomb é usada para determinar a combinação de tensão cisalhante e normal que irá causar a fratura do material. O círculo de Mohr é usado para determinar quais as tensões principais irão produzir esta combinação de tensão cisalhante e normal, e o ângulo do plano no qual isto irá ocorrer. De acordo com o princípio da normalidade a tensão intruduzina na falha será perpendicular à linha descrevendo a condição de fratura.

Pode ser mostrado que um material falhando de acordo com a hipótese de fricção de Coulomb revelará o deslocamento introduzido na falha formando um ângulo com a linha de fratura igual ao ângulo de fricção. Isto torna a resistência do material determinável por comparação do trabalho mecânico externo introduzido pelo deslocamento e o carregamento externo com o trabalho mecânico interno introduzido pela deformação e tensão na linha de falha. Pela lei da conservação da energia a soma destas deve ser zero e isto torna possível calcular a carga de falha da construção.

Uma melhoria comum deste modelo é a combinação da fricção de Coulomb com a hipótese da tensão principal de Rankine para descrever uma fratura de separação.

História do desenvolvimento

A teoria de Mohr–Coulomb é denominada em memória de Charles Augustin de Coulomb e Christian Otto Mohr. A contribuição de Coulomb foi um ensaio publicado em 1773 intitulado "Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture".[2] Mohr desenvolveu uma forma generalizada da teoria no final do século XIX.[3] Como a forma generalizada afetou a interpretação do critério, mas não a essência do mesmo, alguns textos continuam a referir-se ao critério como simplesmente 'critério de Coulomb'.[4]

Critério de falha de Mohr–Coulomb

O critério de falha de Mohr–Coulomb[5] representa o envelope linear que é obtido de uma plotagem da resistência ao cisalhamento de um material ${\displaystyle \tau }$ versus a tensão normal aplicada ${\displaystyle \sigma }$. Esta relação é expressa como

Círculos que representam um ensaio triaxial. No ensaio triaxial as pressões aumentam de forma igualitária em todas as direções.

${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$

onde ${\displaystyle c}$ é a interseção do envelope de falha com o eixo ${\displaystyle \tau }$, e ${\displaystyle \phi }$ é o ângulo do envelope de falha. A quantidade ${\displaystyle c}$ é frequentemente denominada coesão e o ângulo ${\displaystyle \phi }$ é chamado de ângulo de fricção interna. A compressão é assumida ser positiva na discussão a seguir. Se a compressão é assumida ser negativa então ${\displaystyle \sigma }$ deve ser trocado por ${\displaystyle -\sigma }$.

Se ${\displaystyle \phi =0}$, o critério de Mohr–Coulomb se reduz à teoria de Tresca. Por outro lado, se ${\displaystyle \phi =90^{\circ }}$ o modelo de Mohr–Coulomb é equivalente ao modelo de Rankine. Valores maiores de ${\displaystyle \phi }$ não são permitidos.

Do círculo de Mohr temos

${\displaystyle \sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi }$

onde

${\displaystyle \tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}}$

e ${\displaystyle \sigma _{1}}$ é a tensão principal máxima e ${\displaystyle \sigma _{3}}$ é a tensão principal mínima.

Portanto, o critério de Mohr–Coulomb pode também ser expresso como

${\displaystyle \tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi }$

Esta forma do critério de Mohr–Coulomb é aplicável a falha sobre um plano que é paralelo à direção ${\displaystyle \sigma _{2}}$.

Critério de falha de Mohr–Coulomb em três dimensões

O critério de Mohr–Coulomb em três dimensões é frequentemente expresso como

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\pm {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{3}+\sigma _{1}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi ).\end{aligned}}\right.}$

A superfície de falha de Mohr–Coulomb é um cone com seção transversal hexagonal no espaço das tensões deviatórias.

As expressões para ${\displaystyle \tau }$ e ${\displaystyle \sigma }$ podem ser generalizadas para três dimensões desenvolvendo expressões para a tensão normal e a tensão cisalhante resolvida sobre um plano de orientação arbitrária em relação aos eixos coordenados (vetores de base). Se o vetor normal unitário ao plano de interesse é

${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$

onde ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ são os três vetores base unitários ortonormais, e se as tensões principais ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ são alinhadas com os vetores base ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$, então as expressões para ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ são

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}.\end{aligned}}}$

O critério de falha de Mohr–Coulomb pode então ser avaliado usando a expressão usual

${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$

para os seis planos de tensão cisalhante máxima.

Dedução das tensões normal e cisalhante sobre um plano

Seja a normal unitária ao plano de interesse ${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$ onde ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ são três vetores base unitários ortonormais. Então o vetor tração sobre o plano é dada por ${\displaystyle \mathbf {t} =n_{i}~\sigma _{ij}~\mathbf {e} _{j}~~~{\text{(soma sobre índices repetidos)}}}$ A magnitude do vetor tração é dada por ${\displaystyle |\mathbf {t} |={\sqrt {(n_{j}~\sigma _{1j})^{2}+(n_{k}~\sigma _{2k})^{2}+(n_{l}~\sigma _{3l})^{2}}}~~~{\text{(soma sobre índices repetidos)}}}$ Então a magnitude da tensão normal ao plano é dada por ${\displaystyle \sigma =\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =n_{i}~\sigma _{ij}~n_{j}~~{\text{(soma sobre índices repetidos)}}}$ A magnitude da tensão cisalhante resolvida sobre o plano é dada por ${\displaystyle \tau ={\sqrt {|\mathbf {t} |^{2}-\sigma ^{2}}}.}$ Em termos de componentes temos ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{11}+n_{2}^{2}\sigma _{22}+n_{3}^{2}\sigma _{33}+2(n_{1}n_{2}\sigma _{12}+n_{2}n_{3}\sigma _{23}+n_{3}n_{1}\sigma _{31})\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{11}+n_{2}\sigma _{12}+n_{3}\sigma _{31})^{2}+(n_{1}\sigma _{12}+n_{2}\sigma _{22}+n_{3}\sigma _{23})^{2}+(n_{1}\sigma _{31}+n_{2}\sigma _{23}+n_{3}\sigma _{33})^{2}-\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$ Se as tensões principais ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ são alinhadas com os vetores base ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$, então as expressões para ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ são ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}\end{aligned}}}$

Referências

1. Juvinal, Robert C. & Marshek, Kurt .; Fundamentals of machine component design. – 2nd ed., 1991, pp. 217, ISBN 0-471-62281-8
2. AMIR R. KHOEI; Computational Plasticity in Powder Forming Processes; Elsevier, Amsterdam; 2005; 449 pp.
3. MAO-HONG YU; "Advances in strength theories for materials under complex stress state in the 20th Century"; Applied Mechanics Reviews; American Society of Mechanical Engineers, New York, U.S.A.; May 2002; 55 (3): pp. 169–218.
4. NIELS SAABYE OTTOSEN and MATTI RISTINMAA; The Mechanics of Constitutive Modeling; Elsevier Science, Amsterdam, The Netherlands; 2005; pp. 165ff.
5. Coulomb, C. A. (1776). Essai sur une application des regles des maximis et minimis a quelquels problemes de statique relatifs a la architecture. Mem. Acad. Roy. Div. Sav., vol. 7, pp. 343–387.

• https://web.archive.org/web/20061008230404/http://fbe.uwe.ac.uk/public/geocal/SoilMech/basic/soilbasi.htm
• http://www.civil.usyd.edu.au/courses/civl2410/earth_pressures_rankine.doc