Teorema de Zermelo

_{"Teorema de Zermelo" é um conceito na teoria dos jogos.}

 Nota: Para a teoria axiomática mais comum da teoria de conjuntos, veja Axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Vitória!

O teorema de Zermelo apresentou pela primeira vez uma aplicação dos recursos matemáticos para um tipo restrito de interação entre agentes racionais egoístas que, não obstante o mérito da descoberta, raramente ocorria no cotidiano. O matemático e lógico alemão, Ernst Zermelo, demonstra a existência de uma estratégia para jogos como o xadrez que assegurava a vitória ou ao menos o empate para o jogador que a tomasse em primeiro lugar. Zermelo mostrou que seu teorema garantia que quem estivesse de posse de uma estratégia vitoriosa teria ao menos o empate em determinados tipos de interação, independente do que o outro adversário viesse fazer.[1]

Na teoria dos jogos, o teorema de Zermelo [nota 1],[2] diz que em qualquer jogo finito de informação perfeita, entre duas pessoas[nota 2], em que os jogadores movem alternadamente e onde o acaso não afeta o processo de decisão, se o jogo não pode terminar em um empate, então um dos dois jogadores devem ter uma estratégia de vitória.[3][4] Mais formalmente, todos os jogos de forma extensiva-finita exibindo informações completas tem um equilíbrio de Nash que pode ser descoberto por indução retroativa[nota 3]. Se cada recompensa é única, para cada jogador, esta solução de indução retroativa é única.

Teorema de Zermelo

U*(q) ≠∅ é condição suficiente e necessária para que _q seja posição vencedora.

Prova

[U*(q) ≠∅] Seja (q,q1,….,qn) um resultado em U*(q) com n > s [U*(q)= ∅] Existem Vw(q), conjuntos de sequências de movimentos, onde U não perde antes de s movimentos, e, todas as alternativas de movimentos para V estão

Observações

1. Se w > w’ então V w(q) ⊆ Vw’(q)
2. Existem infinitos w tais que Vw(q)≠∅ ou estes estão limitados a σ≤τ≤s, pois se V puder ganhar pode forçar a vitória em τ≤s passos.
3. Fazendo V(q) = Vτ+1 (q), sabe-se que U pode forçar o empate se e somente se Vτ+1 (q) ≠∅

Ver também

• Axioma de construtibilidade
• Teoria dos conjuntos
• 14990 Zermelo

Notas

1. O artigo de Zermelo, publicado em 1913, foi originalmente publicado apenas em alemão. Ele foi, por Ulrich Schwalbe e Paul Walker, traduzido fielmente em inglês em 1997.
2. Zermelo considera a classe "jogos de duas pessoas sem acaso", onde os jogadores têm estritamente interesses opostos e onde apenas um número finito de posições são possíveis. Quando aplicado ao jogo de xadrez, o Teorema de Zermelo afirma que "...ou a branca pode forçar uma vitória, ou preto pode forçar uma vitória, ou ambos os lados podem forçar pelo menos um empate".
3. indução retroativa é o processo de raciocínio de volta no tempo, segue desde o fim de um problema ou uma situação, para determinar uma seqüência de ações optimizadas.

Referências

1. Schwalbe, Ulrich; Walker, Paul (janeiro de 2001). «Zermelo and the Early History of Game Theory». Games and Economic Behavior (1): 123–137. ISSN 0899-8256. doi:10.1006/game.2000.0794. Consultado em 10 de abril de 2023 
2. Zermelo and the Early History of Game Theory
3. Jogos e a Mente Matemática Prof. Ng Wai Tuen,Ph.D. - Departamento de Matemática daUniversidade de Hong Kong (2008) - [1]
4. Considerações sobre o Teorema de Zermelo (2007)

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