Teorema de Saint-Venant

Em mecânica dos sólidos é comum analisar as propriedades de vigas com área de seção transversal constante. O teorema de Saint-Venant estabelece que a seção transversal simplesmente conexa (sem furos) com máxima rigidez torsional é um círculo.[1] É nomeado em memória do matemático francês Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant.

Dado um domínio simplesmente conexo D no plano com área A, sendo ${\displaystyle \rho }$ o raio e ${\displaystyle \sigma }$ a área de seu maior círculo inscrito, a rigidez torsional P de D é definida por

${\displaystyle P=4\sup _{f}{\frac {\left(\iint \limits _{D}f\,dx\,dy\right)^{2}}{\iint \limits _{D}\left({f_{x}}^{2}+{f_{y}}^{2}\right)\,dx\,dy}}.}$

Aqui o supremo é tomado sobre todas as funções continuamente diferenciáveis nulas sobre o contorno de D. A existência deste supremo é uma consequência da desigualdade de Poincaré.

Saint-Venant[2] conjecturou em 1856 que para todos os domínios D de igual área A o círcular tem a maior rigidez torsional, isto é

${\displaystyle P\leq P_{\text{circle}}\leq {\frac {A^{2}}{2\pi }}.}$

Uma prova rigorosa desta desigualdade foi dada em 1948 por George Pólya.[3] Outra prova foi dada por Harold Davenport.[4] Uma prova mais geral e uma estimativa

${\displaystyle P<4\rho ^{2}A}$

foi dada por Makai.[1]

Referências

1. E. Makai, A proof of Saint-Venant's theorem on torsional rigidity, Acta Mathematica Hungarica, Volume 17, Numbers 3–4 / September, 419–422, 1966. doi:10.1007/BF01894885
2. A J-C Barre de Saint-Venant, popularly known as Mémoire sur la torsion des prismes, Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, 14 (1856), pp. 233–560.
3. G. Pólya, Torsional rigidity, principal frequency, electrostatic capacity and symmetrization, Quarterly of Applied Math., 6 (1948), pp. 267, 277.
4. G. Pólya and G. Szegő, Isoperimetric inequalities in Mathematical Physics (Princeton Univ.Press, 1951).