Teorema de Rouché-Capelli

O teorema de Rouché–Capelli é um teorema em álgebra linear que determina o número de soluções para um sistema de equações lineares, dada a classificação de sua matriz aumentada e matriz de coeficientes. O teorema também é conhecido como: Teorema de Kronecker–Capelli na Áustria, Polônia, Romênia e Rússia; Teorema de Rouché–Fontené na França; Teorema de Rouché–Frobenius na Espanha e em muitos países da América Latina; Teorema de Frobenius na Chéquia e na Eslováquia.

Definição formal

Um sistema de equações lineares com ${\displaystyle n}$ variáveis tem solução se e somente se o posto de sua matriz de coeficientes ${\displaystyle A}$ for igual ao posto de sua matriz aumentada ${\displaystyle [A|b]}$.[1] Se houver soluções, elas formam um subespaço afim de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ de dimensão ${\displaystyle n-p(A)}$. Em particular:

• se ${\displaystyle n=p(A)}$, a solução é única,
• caso contrário, existem infinitas soluções.

Exemplo

Considere o sistema de equações

${\displaystyle {\begin{cases}x+y+2z=3\\x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\end{cases}}}$

A matriz de coeficientes é

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$

e a matriz aumentada é

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].}$

Visto que ambas têm o mesmo posto, a saber 2, existe pelo menos uma solução; e como seu posto é menor que o número de incógnitas, sendo o último 3, há infinitas soluções.

Em contraste, considere o sistema

${\displaystyle {\begin{cases}x+y+2z=3\\x+y+z=1\\2x+2y+2z=5\end{cases}}}$

A matriz de coeficientes é

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$

e a matriz aumentada é

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}$

Neste exemplo, a matriz de coeficientes tem posto 2, enquanto a matriz aumentada tem posto 3; portanto, este sistema de equações não tem solução. Na verdade, um aumento no número de colunas linearmente independentes tornou o sistema de equações inconsistente.

Ver também

• Regra de Cramer
• Eliminação gaussiana

Referências

1. Shafarevich, Igor R.; Remizov, Alexey (23 de agosto de 2012). Linear Algebra and Geometry (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. p. 56. ISBN 9783642309946 

• A. Carpinteri (1997). Structural mechanics. [S.l.]: Taylor and Francis. p. 74. ISBN 0-419-19160-7 

Ligações externas

• Kronecker-Capelli Theorem no Wikibooks
• Kronecker-Capelli's Theorem - vídeo do youtube com uma prova
• Kronecker-Capelli theorem na Encyclopaedia of Mathematics

• Portal da matemática