Teorema da representação de Riesz

 Nota: Não confundir com Teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani.

Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.

O mais conhecido destes teoremas é o Teorema de Riesz–Fréchet que se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.

Teorema da representação de Riesz–Fréchet

Seja ${\displaystyle H\,}$ um espaço de Hilbert, munido de produto interno, e ${\displaystyle \phi :H\to K}$ um funcional linear contínuo. Então existe um único ${\displaystyle y_{0}\in H}$ tal que:

${\displaystyle \phi (x)=\langle x,y_{0}\rangle ,\ \forall x\in H\,}$

E além disso:

${\displaystyle ||\phi ||=||y_{0}||}$

Portanto o teorema estabelece uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.

Motivação

Se ${\displaystyle H}$ é um espaço de Hilbert munido de produto interno e ${\displaystyle y\in H}$ então existe o funcional:

${\displaystyle \phi _{y}:H\to K\ ,\ \phi _{y}(x)=\langle x,y\rangle }$

Note que:

• Esse funcional é linear pois o produto interno mantêm linearidade.
• Contínuo pois: fixando ${\displaystyle \epsilon >0}$ se ${\displaystyle ||w||-||z||\leq {\frac {\epsilon }{||y||}}}$ então:${\displaystyle \phi _{y}(w)-\phi _{y}(z)=\langle y,w\rangle -\langle y,z\rangle \leq ||y||.||w||-||y||.||z||=||y||\ (\ ||w||-||y||\ )\leq ||y||.{\frac {\epsilon }{||y||}}=\epsilon }$.
• ${\displaystyle ||\phi _{y}||=||y||}$ pois ${\displaystyle ||\phi _{y}({\frac {y}{||y||}})||={\frac {||\phi _{y}(y)||}{||y||}}={\frac {\langle y,y\rangle }{||y||}}={\frac {||y||^{2}}{||y||}}=||y||}$.

Ou seja, ${\displaystyle \phi _{y}\in H'}$ e ${\displaystyle ||\phi _{y}||=||y||}$.

Seria interessante que todos os funcionais lineares contínuos fossem da forma descrita acima para algum ${\displaystyle y\in H}$.

Demonstração

Se ${\displaystyle \phi }$ é um funcional tal que ${\displaystyle \phi (x)=0}$ sempre, então basta tomar ${\displaystyle y_{0}=0}$ que então ${\displaystyle \phi (x)=0=\langle 0,x\rangle \ \forall x\in H}$.

Se ${\displaystyle \phi }$ não é identicamente nulo, então o núcleo de ${\displaystyle \phi }$ que é o conjunto ${\displaystyle N=\{x\in H:\ \phi (x)=0\}}$ é um subespaço próprio e fechado de ${\displaystyle H}$.

Portanto ${\displaystyle N^{\perp }\neq \{0\}}$ . Seja ${\displaystyle x_{0}\in N^{\perp }}$ tal que ${\displaystyle ||x|=1}$.

Vamos provar que ${\displaystyle y_{0}=\phi (x_{0}).x_{0}}$ satisfaz a condição do teorema.

Dado ${\displaystyle x\in H}$ note que como podemos decompor ${\displaystyle H}$ como soma direta de ${\displaystyle N}$ com ${\displaystyle N^{\perp }}$ então ${\displaystyle x=(x-{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0})+{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0}}$ onde: ${\displaystyle x-{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0}\in N}$ e ${\displaystyle {\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0}\in N^{\perp }}$ .

Logo :

${\displaystyle \langle x,y_{0}\rangle =\langle x-{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0},\ y_{0}\rangle +\langle {\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0},\ y_{0}\rangle }$

Como ${\displaystyle y_{0}\in N^{\perp }}$ e ${\displaystyle x-{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0}\in N}$ então:

${\displaystyle \langle x,y_{0}\rangle =0+{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}\langle x_{0},y_{0}\rangle ={\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}\langle x_{0},\phi (x_{0}).x_{0}\rangle =\phi (x)\langle x_{0},x_{0}\rangle =\phi (x).||x_{0}||}$

Como ${\displaystyle ||x_{0}||=1}$ então temos que:

${\displaystyle \langle x,y_{0}\rangle =\phi (x).}$

Consequências

• Todo espaço de Hilbert é isomorfo ao seu dual.
• O dual de um espaço de Hilbert também é de Hilbert

Bibliografia

• Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira (2011), Fundamentos de Análise Funcional

• Portal da matemática