Superfícies de Bézier

Exemplo de Superfície de Bézier.

Superfícies de Bézier são uma espécie de Splines matemáticas usadas em computação gráfica, sistemas CAD, e modelagem por elementos finitos. Tal como acontece com as curvas de Bézier, as superfícies de Bézier são definidas por um conjunto de pontos de controle. Semelhante com a interpolação em muitos aspectos, uma das diferenças fundamentais é que uma superfície de Bézier em geral não passa pelos pontos de controle centrais, mas é "esticada" na direção de cada um deles como se houvesse uma força atrativa. O que é visualmente intuitivo, e conveniente para muitas aplicações matemáticas.[1]

A Superfície de Bézier é de continuidade G2.[2]

História

Ela foi desenvolvida em 1962 e seu nome é devido a quem publicou o primeiro trabalho sobre a curva, o francês Pierre Bézier, funcionário da Renault, que a usou para o design de automóveis. Ela foi desenvolvida a partir do Algoritmo de De Casteljau, em 1957, (Paul de Casteljau, Citroën) e formalizada na década de 60. As superfícies de Bézier podem ser de qualquer grau, porém as bicubicas proporcionam grau de liberdade suficiente para grande variedade de aplicações.[3]

Equação

Uma dada superfície de ordem (n, m) é definida por um conjunto de (n + 1)(m + 1) pontos de controle k_i,j. Ela mapeia a unidade quadrada em uma superfície lisa contínua, embutidas dentro de um espaço de mesma dimensão como { k_i,j }. Por exemplo, se os k são pontos em um espaço de quatro dimensões, então a superfície estará dentro de um espaço de quatro dimensões.[4] A superfície de Bézier de duas dimensões pode ser definida por uma superfície paramétrica onde as posições dos pontos p, como uma função das coordenadas paramétricas u, v, são dadas por:

Curvas de Bézier.

${\displaystyle \mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\;B_{j}^{m}(v)\;\mathbf {k} _{i,j}}$

avaliados ao longo da unidade quadrada, onde

${\displaystyle B_{i}^{n}(u)={n \choose i}\;u^{i}(1-u)^{n-i}}$

é o polinômio de Bernstein, e

${\displaystyle {n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}}$

é o coeficiente binomial.

Bibliografia

• Gerald Farin. Curves and Surfaces for CAGD, 5th ed. published by Academic Press. ISBN 1558607374.
• Bartels, R. H.; Beatty, J. C.; and Barsky, B. A. "Bézier Curves." Ch. 10 in An Introduction to Splines for Use in Computer Graphics and Geometric Modelling. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, pp. 211–245, 1998.
• Piegl, L. Fundamental Developments of Computer Aided Geometric Design. San Diego, CA: Academic Press, 1993.

Referências

1. Shene, C.-K. "Introduction to Computing with Geometry Notes. Unit 5: Bézier Curves, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
2. Mc Neel. «Continuity Descriptions». Documentos do McNeel - Rhino 5. Consultado em 7 de outubro de 2013 
3. Teoria Local das Curvas, Roberto Simoni (2005), p. 53, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
4. Wolfram Mathworld, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.

Ver também

• Superfície classe A

Ligações externas

• Cubic Bézier, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
• http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/surfaces/bezier/
• http://home.scarlet.be/piet.verplancken3/bezier/node15.html
• Patchy An open source bicubic patch library, for the Processing programming language.