Sucessor cardinal

Na teoria de números cardinais, podemos definir uma operação de sucessor semelhante à dos números ordinais. Isto coincide com a operação de sucessor ordinal para cardinais finitos, mas no caso de infinitos divergem porque cada ordinal infinito e seu sucessor tem a mesma cardinalidade (uma bijeção pode ser configurado entre os dois simplesmente enviando o último elemento do sucessor a 0, 0 a 1, etc, e fixa ω e todos os elementos acima, no estilo da infinitude do hotel de Hilbert). Usando a atribuição cardinal de von Neumann[nota 1] e o axioma da escolha, esta operação de sucessor é fácil de definir: para um número cardinal κ temos:

${\displaystyle \kappa ^{+}=|\inf\{\lambda \in ON\ |\ \kappa <|\lambda |\}|}$ ,

onde ON é a classe dos ordinais. Isto é, o cardinal sucessor é a cardinalidade do menor ordinal no qual um conjunto da cardinalidade dada pode ser mapeado um-para-um, mas que não pode ser mapeado um-para-um de volta para o conjunto.[1][2]

Notas e referências

Notas

1. A atribuição cardinal de von Neumann é uma atribuição cardinal que usa números ordinais. Para um U bem ordenado definida, podemos definir o seu número cardinal para ser o menor número ordinal equipotência a U. Mais precisamente:

   ${\displaystyle |U|=\mathrm {card} (U)=\inf\{\alpha \in ON\ |\ \alpha =_{c}U\}}$ ,

   onde ON é a classe dos ordinais. Este ordinal é também chamado de ordinal inicial do cardinal.

Referências

1. Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.
2. Adding clubs subsets of w2 Charles Morgan [[1]]

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