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Simetria rotacional A simetria rotacional, também conhecida como simetria radial na geometria, é a propriedade que uma forma tem quando parece a mesma após alguma rotação por uma volta parcial. O grau de simetria rotacional de um objeto é o número de orientações distintas nas quais ele parece exatamente o mesmo para cada rotação. Certos objetos geométricos são parcialmente simétricos quando girados em certos ângulos, como quadrados girados 90°, no entanto, os únicos objetos geométricos que são totalmente simétricos rotacionalmente em qualquer ângulo são esferas, círculos e outros esferoides.[1][2] Tratamento formalFormalmente, a simetria rotacional é a simetria em relação a algumas ou todas as rotações no espaço euclidiano m-dimensional. As rotações são isometrias diretas [en], isto é, isometrias que preservam a orientação. Portanto, um grupo de simetria de simetria rotacional é um subgrupo de E+(m) (ver grupo euclidiano). A simetria com relação a todas as rotações sobre todos os pontos implica simetria translacional com relação a todas as translações, de modo que o espaço é homogêneo e o grupo de simetria é todo o E(m). Com a noção modificada de simetria para campos vetoriais [en], o grupo de simetria também pode ser E+(m). Para simetria em relação às rotações em torno de um ponto, podemos tomar esse ponto como origem. Estas rotações formam o grupo ortogonal especial SO(m), o grupo de [[Matriz ortogonal|matrizes (arranjos) ortogonais m×m com determinante 1. Para m = 3 este é o grupo de rotação SO(3). Em outra definição da palavra, o grupo de rotação de um objeto é o grupo de simetria dentro de E+(n), o grupo de isometrias diretas; em outras palavras, a interseção do grupo de simetria total e o grupo de isometrias diretas. Para objetos quirais é o mesmo que o grupo de simetria completo. As leis da física são SO(3)-invariantes se não distinguirem diferentes direções no espaço. Por causa do teorema de Noether, a simetria rotacional de um sistema físico é equivalente à lei de conservação do momento angular. Simetria rotacional discretaSimetria rotacional de ordem n, também chamada de simetria rotacional de n dobra(s), ou simetria rotacional discreta de enésima ordem, em relação a um ponto particular (em 2D) ou eixo (em 3D) significa que a rotação em um ângulo de 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3⁄7°, etc.) não altera o objeto. Uma simetria de "1 dobra" não é, ou é sem, simetria (todos os objetos parecem iguais após uma rotação de 360°). A notação para simetria de n dobras é Cn ou simplesmente "n". O grupo de simetria real é especificado pelo ponto ou eixo de simetria, juntamente com o n. Para cada ponto ou eixo de simetria, o tipo de grupo abstrato é grupo cíclico de ordem n, Zn. Embora para este último também seja usada a notação Cn, o Cn geométrico e o Cn abstrato devem ser distinguidos: existem outros grupos de simetria do mesmo tipo de grupo abstrato que são geometricamente diferentes . O domínio fundamental [en] é um setor de 360°/n. Exemplos sem simetria de reflexão adicional:
Cn é o grupo de rotação de um polígono regular de n lados em 2D e de uma pirâmide regular de n lados em 3D. Se houver, por exemplo, simetria rotacional em relação a um ângulo de 100°, então também em relação a um de 20°, o máximo divisor comum de 100° e 360°. Uma hélice é um objeto 3D típico com simetria rotacional (possivelmente também com eixos perpendiculares), mas sem simetria de espelho. Exemplos
Vários eixos de simetria passando pelo mesmo pontoPara simetria discreta [en] com múltiplos eixos de simetria passando pelo mesmo ponto, existem as seguintes possibilidades:
No caso dos sólidos platônicos, os eixos duplos passam pelos pontos médios das arestas opostas, e o número deles é metade do número de arestas. Os outros eixos passam por vértices opostos e por centros de faces opostas, exceto no caso do tetraedro, onde os eixos triplos passam cada um por um vértice e o centro de uma face. Simetria rotacional em relação a qualquer ânguloA simetria rotacional em relação a qualquer ângulo é, em duas dimensões, simetria circular. O domínio fundamental é uma meia-linha/reta. Em três dimensões, podemos distinguir simetria cilíndrica e simetria esférica (sem alteração ao girar em torno de um eixo ou para qualquer rotação). Ou seja, nenhuma dependência do ângulo usando coordenadas cilíndricas e nenhuma dependência de qualquer ângulo usando coordenadas esféricas. O domínio fundamental é um semiplano através do eixo e uma semirreta radial, respectivamente. Axisimétrico ou axissimétrico são adjetivos que se referem a um objeto com simetria cilíndrica, ou axisimetria (ou seja, simetria rotacional em relação a um eixo central) como um donut (toro). Um exemplo de simetria esférica aproximada é a Terra (no que diz respeito à densidade e outras propriedades físicas e químicas). Em 4D, a simetria rotacional contínua ou discreta sobre um plano corresponde à simetria rotacional 2D correspondente em cada plano perpendicular, sobre o ponto de interseção. Um objeto também pode ter simetria rotacional em torno de dois planos perpendiculares, por exemplo, se for o produto cartesiano de duas figuras 2D rotacionalmente simétricas, como no caso de, por exemplo, o duocilindro e vários duoprismas [en] regulares. Simetria rotacional com simetria translacional
A simetria rotacional de 2 dobras junto com a simetria translacional única é um dos grupos de friso [en]. Existem dois rotocentros por célula primitiva [en]. Juntamente com a dupla simetria translacional, os grupos de rotação são os seguintes grupos de papel de parede [en], com eixos por célula primitiva:
A escala de uma rede divide o número de pontos por unidade de área pelo quadrado do fator de escala. Portanto, o número de rotocentros de 2, 3, 4 e 6 dobras por célula primitiva é 4, 3, 2 e 1, respectivamente, novamente incluindo 4 dobras como um caso especial de 2 dobras, etc. Simetria rotacional de 3 dobras em um ponto e de 2 dobras em outro (ou idem em 3D em relação a eixos paralelos) implica grupo de rotação p6, ou seja, simetria translacional dupla e simetria rotacional de 6 dobras em algum ponto (ou, em 3D, eixo paralelo). A distância de translação para a simetria gerada por um desses pares de rotocentros é vezes a distância deles.
Ver tambémReferências
Ligações externas
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