Princípio de Cavalieri

Trecho do Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota[1] (Teorema I. Proposição I.).

O princípio de Cavalieri (a base do método dos indivisíveis) refere-se às seguintes duas proposições em geometria:[2][3][4]

"Dadas duas regiões planas incluídas entre um par de retas paralelas, se toda reta paralela ao par de retas e que intersecta as regiões o faz em segmentos cujos comprimentos estão sempre na mesma razão, então as áreas das regiões também estão nessa mesma razão."

E a proposição análoga para sólidos:

"Dados dois sólidos incluídos entre um par de planos paralelos, se todo plano paralelo ao par de planos e que intersecta os sólidos o faz em seções cujas áreas estão sempre na mesma razão, então os volumes dos sólidos também estão nessa mesma razão."

O Princípio de Cavalieri pode ser usado para se deduzir uma fórmula para o volume da esfera.

História

Apesar do princípio levar o nome de Cavalieri, ele já era conhecido dos gregos antigos, tendo sido utilizado por Arquimedes, que relatou que ele já tinha sido empregado ainda antes por Eudoxo e Demócrito quando calcularam o volume de um cone.[5]

Matemático italiano, Bonaventura Cavalieri, século XVI, discípulo de Galilleu, foi considerado o autor do método capaz de achar áreas e volumes de sólidos com maior facilidade.
A principal ideia é que mesmo com o formato geométrico modificado ,a não ser quando perde ou ganha massa,o volume permanecerá o mesmo, essa é a principal ideia para o Princípio de Cavalieri.

Definição

Podendo ser utilizado de forma axiomática, este princípio pode ser compreendido supondo-se dois sólidos ${\displaystyle \mathrm {A} }$ e ${\displaystyle \mathrm {B} }$ em um plano horizontal ${\displaystyle \alpha }$e um plano paralelo a ${\displaystyle \alpha }$, que seria , ${\displaystyle \alpha '}$ de forma que ambos os planos cortem os sólidos em secções de mesma área para cada corte dado.Pelo princípio de Cavalieri é afirmado que o volume do sólido ${\displaystyle \mathrm {A} }$ é igual ao volume do sólido ${\displaystyle \mathrm {B} }$.

Considerando que os sólidos ${\displaystyle \mathrm {A} }$ e ${\displaystyle \mathrm {B} }$ sejam fatiados com o igual número de fatias contando, todas, a mesma altura e secções de mesma área, assim terão, aproximadamente o mesmo volume. Quanto mais fina as fatias, maior será a aproximação.

Volume do Cilindro ( Princípio de Cavalieri)

Sólidos geométricos, os cilindros e os prismas em qualquer secção feita por um plano paralelo à base, será compreendida uma figura plana congruente a base.

Suponha-se um plano ${\displaystyle \alpha '}$ paralelo ao plano ${\displaystyle \alpha }$ que contém bases de um cilindro e paralelepípedo.O corte feito por ${\displaystyle \alpha '}$ determina em ambos os sólidos figuras congruentes às suas bases, isto é com áreas iguais.

${\displaystyle A_{1}}$: Corte feito pelo plano ${\displaystyle \alpha '}$ no paralelepípedo;

${\displaystyle \mathrm {A} }$: Base do paralelepípedo no plano ${\displaystyle \alpha }$;

${\displaystyle A_{2}}$:Corte feito pelo plano ${\displaystyle \alpha '}$ no cilindro;

${\displaystyle \mathrm {A} }$: Base do cilindro no plano ${\displaystyle \alpha }$.

Sabendo que ${\displaystyle A_{p}}$(área do paralelepípedo) = ${\displaystyle A_{c}}$( área do cilindro),temos que ${\displaystyle A_{1}}$= ${\displaystyle \mathrm {A} }$ e ${\displaystyle A_{2}}$=${\displaystyle \mathrm {A} }$. Sabendo que a base do paralelepípedo possui base igual ao do cilindro, denominada de ${\displaystyle \mathrm {A} }$.

Como ${\displaystyle A_{1}}$=${\displaystyle \mathrm {A} }$=${\displaystyle A_{2}}$, com o uso do Princípio de Cavalieri, temos que:

${\displaystyle V_{p}}$( Volume do paralelepípedo)= ${\displaystyle A_{B}}$(área da base)${\displaystyle \times }$${\displaystyle \mathrm {h} }$(altura)=${\displaystyle V_{c}}$(volume do cilindro)

Portanto:

${\displaystyle V_{c}}$= ${\displaystyle A_{B}}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \mathrm {h} }$

O mesmo é aplicado ao prisma:

${\displaystyle V_{p}}$(volume do prisma)=${\displaystyle A_{B}}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \mathrm {h} }$

Volume da Esfera (Princípio de Cavalieri)

Consideremos uma esfera ${\displaystyle E}$ de centro ${\displaystyle C_{1}}$ e raio ${\displaystyle R}$, delimitada pelos planos ${\displaystyle \alpha }$e ${\displaystyle \beta }$ , paralelos entre si e tangentes à esfera.

Consideremos ainda o plano ${\displaystyle \gamma }$ entre os planos ${\displaystyle \alpha }$e ${\displaystyle \beta }$, paralelo a ambos. A intersecção entre o plano ${\displaystyle \gamma }$ e a esfera produzirá uma secção transversal, no formato de um círculo, de centro ${\displaystyle C_{2}}$ e raio ${\displaystyle r_{1}}$.

Denotemos por ${\displaystyle d}$ a distância entre o centro da esfera, ${\displaystyle C_{1}}$ e centro da secção transversal, ${\displaystyle C_{2}}$.

Construamos o ponto ${\displaystyle A}$, na intersecção da secção transversal com o plano ${\displaystyle \gamma }$. Ao traçarmos um segmento com extremos em ${\displaystyle C_{1}}$ e A, a medida desse segmento será igual a R. Teremos, então, o triângulo de vértices ${\displaystyle C_{1}C_{2}A}$, retângulo em ${\displaystyle C_{2}}$, com hipotenusa medindo ${\displaystyle R}$ e catetos medindo respectivamente ${\displaystyle d}$ e ${\displaystyle r_{1}}$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos ${\displaystyle R^{2}={r_{1}}^{2}+d^{2}}$que podemos reescrever como ${\displaystyle {r_{1}}^{2}=R^{2}-d^{2}}$.

Por outro lado, a área da seção será dada por ${\displaystyle {A_{S}}_{1}=\pi {r_{1}}^{2}}$. Substituindo o valor de ${\displaystyle {r_{1}}^{2}}$encontrado acima, temos ${\displaystyle {A_{S}}_{1}=\pi (R^{2}-d^{2})}$.

O Princípio de Cavalieri garante que se fatiarmos um sólido geométrico em várias posições transversais e deslocá-las ou reordená-las, ainda assim, o volume total dessas fatias seria igual ao volume desse sólido.

Consideremos então o sólido geométrico, formado por dois cones, unidos pelos vértices, denominado clepsidra, também conhecida como ampulheta, com o raio de suas bases igual a ${\displaystyle R}$. Sendo essa clepsidra delimitada pelos planos ${\displaystyle \alpha }$e ${\displaystyle \beta }$, a altura de cada cone será igual ao raio da esfera, ou seja, ${\displaystyle R}$.

Note que a clepsidra será intersectada pelo plano ${\displaystyle \gamma }$, e a secção transversal será um círculo de raio ${\displaystyle r_{2}\neq r_{1}}$. A área da secção da pode ser obtida por ${\displaystyle {A_{S}}_{2}=\pi {r_{2}}^{2}}$.

Como a altura do cone e o raio de sua base são iguais a ${\displaystyle R}$, na clepsidra, podemos utilizar a semelhança de triângulos, para deduzir que ${\displaystyle R}$está para ${\displaystyle d}$ , assim como ${\displaystyle R}$ está par a${\displaystyle r_{2}}$, ou seja,

${\displaystyle {\frac {R}{d}}={\frac {R}{r_{2}}}\Rightarrow R.r_{2}=R.d\Rightarrow r_{2}=d}$.

Daí temos que ${\displaystyle {A_{S}}_{2}=\pi {r_{2}}^{2}\Rightarrow {A_{S}}_{2}=d^{2}}$.

Entretanto, o Princípio de Cavaliere só pode ser aplicado a secções transversais que apresentem a mesma área, o que não é o caso.

Construindo, entretanto, um cilindro de altura ${\displaystyle 2R}$e base de raio ${\displaystyle R}$em torno da clepsidra, podemos utilizar a anti-clepsidra, que trata-se do que resta do cilindro ao retirarmos a clepsidra de seu interior.

Observe que a seção transversal produzida pela interseção do plano ${\displaystyle \gamma }$ com o cilindro terá seu raio medindo ${\displaystyle R}$.

Então a área da secção transversal da anti-clepsidra, que denotaremos por ${\displaystyle {A_{S}}_{3}}$poderá ser obtida pela área do da secção transversal do cilindro, subtraindo-se a secção transversal da clepsidra.

Logo, temos ${\displaystyle {A_{S}}_{3}=\pi {R}^{2}-\pi {d}^{2}}$. Colocando ${\displaystyle \pi }$em evidência, temos que ${\displaystyle {A_{S}}_{3}=\pi ({R}^{2}-{d}^{2})}$.

Observe que temos ${\displaystyle {A_{S}}_{3}={A_{S}}_{1}}$, isto é, as áreas das secções transversais da anti-clepsidra e da esfera tem medidas iguais, então podemos utilizar o Princípio de Cavalieri, para encontrar o volume da esfera.

O volume da esfera será igual ao volume da anti-clepsidra, conforme nos garante Cavalieri, e o volume da anti-clepsidra pode ser obtido a partir dos volumes de dois sólidos cujas fórmulas são conhecidas: o cilindro e o cone.

O Volume do cilindro em questão e dado por ${\displaystyle V_{cilindro}=\pi .R^{2}.2R=2\pi .R^{3}}$e o volume de cada cone dado por ${\displaystyle V_{cone}={\frac {\pi .R^{2}.R}{3}}={\frac {\pi .R^{3}}{3}}}$.

Assim, o volume da anti-clepsidra, ou seja, o volume da esfera, pode ser obtido, pelo volume do cilindro, subtraindo-se o volume da clepsidra (2 vezes o volume do cone).

Então, temos

${\displaystyle V_{esfera}=V_{anti-clepsidra}=V_{cilindro}-2.V_{cone}}$

${\displaystyle \Rightarrow V_{esfera}=2\pi .R^{3}-2({\frac {\pi .R^{3}}{3}})\Rightarrow V_{esfera}=2\pi .R^{3}-{\frac {2\pi .R^{3}}{3}}}$

${\displaystyle \Rightarrow V_{esfera}={\frac {6\pi .R^{3}-2\pi .R^{3}}{3}}}$

${\displaystyle \Rightarrow V_{esfera}={\frac {4\pi .R^{3}}{3}}}$.

Portanto, utilizando o Princípio de Cavalieri, conseguimos deduzir que o volume da esfera é dado por ${\displaystyle V_{esfera}={\frac {4\pi .R^{3}}{3}}}$, como pretendíamos.

Geogebra e o princípio de Cavalieri

Na plataforma do Geogebra.org é possível obter diversos materiais para simulação do princípio de Cavalieri, além das diversas atividades disponíveis para consultas e estudos.

Referências

1. The Garden of Archimedes: A Museum for Mathematics – Squaring methods from antiquity to the Seventeenth Century.
2. N. Bourbaki. Elements of the History of Mathematics. [S.l.]: Springer Science & Business Media. p. 179. ISBN 978-3-540-64767-6 
3. John Lane Bell. The Continuous and the Infinitesimal in Mathematics and Philosophy. [S.l.]: Polimetrica s.a.s. p. 69. ISBN 978-88-7699-015-1 
4. Margaret E. Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus. [S.l.]: Courier Dover Publications. p. 126. ISBN 978-0-486-49544-6 
5. Tom Apostol (31 de janeiro de 2013). New Horizons in Geometry. [S.l.]: MAA. p. 139. ISBN 978-0-88385-354-2 

Leitura adicional

• Andersen, Kirsti. "Cavalieri's Method of Indivisibles", Archive for History of Exact Sciences, 31 (1985), pp. 291–367.
• Lam, Lay-Yong; Shen, Kangsheng. "The Chinese concept of Cavalieri's principle and its applications", Historia Mathematica, 12 (1985), N. 3, pp. 219–228.
• Malet, Antoni (1996). From Indivisibles to Infinitesimals: Studies on Seventeenth-Century Mathematizations of Infinitely Small Quantities. [S.l.]: Universitat Autònoma de Barcelona. ISBN 978-84-490-0520-6 

Ver também

• Matemática grega

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