Operador linear ilimitado

Em matemática e, em especial, em análise funcional, a noção de operador linear ilimitado fornece uma estrutura abstrata para lidar com diversas aplicações, principalmente em coneção em cone com operadores diferenciais e mecânica quântica.

A teoria dos operadores ilimitados foi desenvolvida no final dos anos de 1920 e início de 1930, por J. von Neuman and M. H. Stone, como uma tentativa de colocar a mecânica quântica em uma base matemática rigorosa [1] .

Definição e propriedades básicas

Sejam ${\displaystyle X,Y}$ espaços de Banach. Um operador linear ilimitado é uma aplicação linear ${\displaystyle A:D(A)\subset X\longrightarrow Y}$, onde ${\displaystyle D(A)}$ é um subespaço de ${\displaystyle X}$, chamado domínio de ${\displaystyle A}$. Dizemos que o operador ${\displaystyle A}$ é densamente definido quando ${\displaystyle D(A)}$ é denso em ${\displaystyle X}$, isto é, quando ${\displaystyle {\overline {D(A)}}=X}$.

A imagem de ${\displaystyle A}$ é um subespaço de ${\displaystyle Y}$ denotado por ${\displaystyle R(A)}$. O gráfico de ${\displaystyle A}$, denotado por ${\displaystyle G(A)}$, é definido por

${\displaystyle G(A)=\{(x,Ax)\in X\times Y;\ x\in D(A)\}.}$

Um operador ${\displaystyle A}$ é dito ser fechado se o seu gráfico é fechado em ${\displaystyle X\times Y}$. O núcleo de ${\displaystyle A}$ é um subespaço de ${\displaystyle X}$, definido por

${\displaystyle {\mathcal {N}}(A)=\{x\in D(A);\ Ax=0\}.}$

Referências

1. Kreyszig 1989, Chapter 10, page 523

Bibliografia

• Brezis, Haim (2011). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (em inglês). New York, NY: Springer New York 

• Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3 

• Kreyszig, Erwin (1989). Introductory functional analysis with applications. Col: Wiley classics library Wiley classics library ed ed. New York: Wiley  !CS1 manut: Texto extra (link)