Medida espectral

Na matemática, particularmente em análise funcional a Medida espectral é uma função definida em certos subconjuntos de um conjunto fixo no qual todos os valores possíveis são operadores autoadjuntos no espaço de Hilbert.

Definição

Uma medida espectral num espaço mensurável (X, M), onde M é uma σ-álgebra de subconjuntos de X, é um mapeamento π de M para o conjunto de projeções autoadjuntas num espaço de Hilbert H de forma que

${\displaystyle \pi (X)=\operatorname {id} _{H}\quad }$

e para todo ξ, η ∈ H, o conjunto função

${\displaystyle A\mapsto \langle \pi (A)\xi \mid \eta \rangle }$

é uma medida complexa em M (que é, uma função de adição sigma de um valor complexo). Nós denotamos tal medida por ${\displaystyle \operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )}$.

Se π é uma medição espectral e

${\displaystyle A\cap B=\emptyset ,}$

Então π(A), π(B) são projeções ortogonais. A partir disto obtemos,

${\displaystyle \pi (A)\pi (B)=\pi (A\cap B).}$

Exemplo

Suponha que (X, M, μ) seja uma medida espacial. Deixemos π(A) ser um operador de multiplicação pela função indicadora ${\displaystyle 1_{A}}$ no ${\displaystyle L^{2}(X)}$. Então π é uma medição espectral.

Extensões da medição espectral

Se π é uma aditivo na medida espectral em (X, M), então o mapeamento

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\mapsto \pi (A)}$

estende de um mapeamento linear num espaço vectorial de funções escalonadas em X. De facto, é facilmente verificável que este mapeamento é um homomorfismo de anéis. E este mapeamento estende de uma forma canônica para todos valores complexos em X.

Teorema

Para qualquer M funções limitadas medíveis f em X, existe um único operador linear limitado ${\displaystyle T_{\pi }(f)}$ tal que

${\displaystyle \langle \operatorname {T} _{\pi }(f)\xi \mid \eta \rangle =\int _{X}f(x)d\operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )(x)}$

para qualquer ξ, η ∈ H. O mapeamento

${\displaystyle f\mapsto \operatorname {T} _{\pi }(f)}$

é um homomorfismo de anéis.

Estrutura da medição espectral

Primeiro nós daremos um exemplo geral da medida espectral baseada na integral direta.

Suponha que (X, M, μ) seja uma medida espacial e deixemos que {H_x}_{x ∈ X} sejam uma família de espaços de Hilbert separáveis. Para todo A ∈ M, tomemos π(A) como um operador de multiplicação por ${\displaystyle 1_{A}}$ no espaço de Hilbert.

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

Então π é uma medição espectral em (X, M).

Suponha que π, ρ são medições espectrais em (X, M) com valores as projeções de H, K. π, ρ são unitariamente equivalentes se e somente se existe um operador unitário ${\displaystyle U:H\rightarrow K}$ tal que

${\displaystyle \pi (A)=U^{*}\rho (A)U\quad }$

para todo A ∈ M.

Generalizações

A ideia por trás da medição espectral é generalizada pela medição espectral positiva, onde a necessidade da ortogonalidade implícita pelos operadores de projeção é trocada pela ideia de um conjunto de operadores que é uma partição da unidade não ortogonal. Esta generalização foi motivada pelas aplicações da teoria de informação quântica.

Ver também

• Teoremas espectrais

Leitura recomendada

• Mackey, G. W (1976). The Theory of Unitary Group Representations. [S.l.]: The University of Chicago Press 
• Varadarajan, V. S (1970). Geometry of Quantum Theory V2. [S.l.]: Springer Verlag 

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