Mapeamento contrativo

Em matemática, uma função de contração, ou simplesmente contração ou contrator, em um espaço métrico (M, d) é uma função f de M para si mesma, com a propriedade de que existe algum número real ${\displaystyle 0\leq k<1}$ tal que para todos os x e y em M,

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k,d(x,y).}$

O menor valor de k que satisfaz essa condição é chamado de constante de Lipschitz de f. Mapas contraídos são às vezes chamados de mapas Lipschitzianos. Se a condição acima for satisfeita para k ≤ 1, então o mapeamento é chamado de função não expansiva.

Em termos gerais, a ideia de um mapeamento contrativo pode ser definida para mapas entre espaços métricos. Assim, se (M, d) e (N, d') são dois espaços métricos, então ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ é um mapeamento contrativo se houver uma constante ${\displaystyle 0\leq k<1}$ tal que

${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k,d(x,y)}$

para x e y em M.

Todo mapeamento contraído é uma função Lipschitz contínua e, desse forma, uniformemente contínuo (para uma função Lipschitz contínua, a constante k nem sempre é necessariamente menor que 1).

Um mapeamento contrativo tem no máximo um ponto fixo. Além disso, o Teorema do ponto fixo de Banach afirma que todo mapeamento contrativo em um espaço métrico completo não vazio tem um ponto fixo único, e que para qualquer x em M a sequência de função iterada x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... converge para o ponto fixo. Esse conceito é muito útil para sistemas de funções iterativas onde mapeamentos contrativos são frequentemente utilizados. O teorema do ponto fixo de Banach também é aplicado para provar a existência de soluções de equações diferenciais ordinárias, e é usado em uma prova do teorema da função inversa.[1]

Mapeamentos contrativos desempenham um papel importante em problemas de programação dinâmica[2][3].

Mapeamento firmemente não expansivo

Um mapeamento não expansivo com ${\displaystyle k=1}$ pode ser generalizado para um mapeamento firmemente não expansivo em um espaço de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ se o seguinte valer para todos os x e y em ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$:

${\displaystyle |f(x)-f(y)|^{2}\leq ,\langle x-y,f(x)-f(y)\rangle .}$

em que

${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$.

Esse é um caso especial de operadores não expansivos médios com ${\displaystyle \alpha =1/2}$.[4] Um mapeamento firmemente não expansivo é sempre não expansivo, via a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

A classe de mapas firmemente não expansivos é fechada sob combinação convexa, mas não sob composições.[5] Essa classe inclui mapeamentos proximais de funções próprias, convexas e semicontínuas inferiores, portanto, também inclui projeção ortogonal em conjuntos convexos fechados não vazios. A classe de operadores firmemente não expansivos é igual ao conjunto de resolventes de operadores maximalmente monotônicos.[6] Surpreendentemente, enquanto iterar mapas não expansivos não tem garantia de encontrar um ponto fixo (por exemplo, multiplicação por -1), uma firme não-expansividade é suficiente para garantir convergência global para um ponto fixo, desde que um ponto fixo exista. Mais precisamente, se ${\displaystyle {\text{Fix}}f:={x\in {\mathcal {H}}\ |\ f(x)=x}\neq \varnothing }$, então para qualquer ponto inicial ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {H}}}$, ao iterar

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )\quad x_{n+1}=f(x_{n})}$

resulta em convergência para um ponto fixo ${\displaystyle x_{n}\to z\in {\text{Fix}}f}$. Essa convergência pode ser fraca em um ambiente de dimensão infinita.[5]

Mapa de subcontração

Um mapa de subcontração ou subcontratante é um mapa f em um espaço métrico (M, d) tal que

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y);}$

${\displaystyle d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{a menos que}}\quad x=f(x).}$

Se a imagem de um subcontratante f for compacta, então f tem um ponto fixo.[7]

Espaços localmente convexos

Em um espaço localmente convexo (E, P) com topologia dada por um conjunto P de seminormas, pode ser definido para qualquer p ∈ P um p-contrativo como um mapa f tal que haja algum k_p < 1 tal que p(f(x) − f(y)) ≤ k_p p(x − y). Se f for um p-contrativo para todos p ∈ P e (E, P) for sequencialmente completo, então f tem um ponto fixo, dado como limite de qualquer sequência x_n+1 = f(x_n), e se (E, P) for Hausdorff, então o ponto fixo é único.[8]

Veja também

• Função não expansiva
• Função identidade
• Transformação geométrica
• Função afim

Referências

1. Shifrin, Theodore (2005). Multivariable Mathematics. [S.l.]: Wiley. pp. 244–260. ISBN 978-0-471-52638-4 
2. Denardo, Eric V. (1967). «Contraction Mappings in the Theory Underlying Dynamic Programming». SIAM Review. 9 (2): 165–177. Bibcode:1967SIAMR...9..165D. doi:10.1137/1009030 
3. Stokey, Nancy L.; Lucas, Robert E. (1989). Recursive Methods in Economic Dynamics. Cambridge: Harvard University Press. pp. 49–55. ISBN 978-0-674-75096-8 
4. Combettes, Patrick L. (2004). «Solving monotone inclusions via compositions of nonexpansive averaged operators». Optimization. 53 (5–6): 475–504. doi:10.1080/02331930412331327157 
5. Bauschke, Heinz H. (2017). Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces. New York: Springer 
6. Combettes, Patrick L. (Julho de 2018). «Monotone operator theory in convex optimization». Mathematical Programming. B170: 177–206. Bibcode:2018arXiv180202694C. arXiv:1802.02694. doi:10.1007/s10107-018-1303-3 
7. Goldstein, A.A. (1967). Constructive real analysis. Col: Harper's Series in Modern Mathematics. New York-Evanston-London: Harper and Row. p. 17. Zbl 0189.49703 
8. Cain, G. L. Jr.; Nashed, M. Z. (1971). «Fixed Points and Stability for a Sum of Two Operators in Locally Convex Spaces». Pacific Journal of Mathematics. 39 (3): 581–592. doi:10.2140/pjm.1971.39.581 

Leitura adicional

• Istratescu, Vasile I. (1981). Fixed Point Theory: An Introduction. Holland: D.Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0  fornece uma introdução em nível de graduação.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Fixed Point Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9 
• Kirk, William A.; Sims, Brailey (2001). Handbook of Metric Fixed Point Theory. London: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4 
• Naylor, Arch W.; Sell, George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Science. Col: Applied Mathematical Sciences. 40 Second ed. New York: Springer. pp. 125–134. ISBN 978-0-387-90748-2 
• Bullo, Francesco (2022). Contraction Theory for Dynamical Systems. [S.l.]: Kindle Direct Publishing. ISBN 979-8-8366-4680-6