Logaritmo natural

O gráfico do logaritmo natural.

Parte de uma série de artigos sobre a
constante matemática e
Propriedades
Logaritmo natural Função exponencial
Aplicações
Juro composto Identidade de Euler Fórmula de Euler meias-vidas crescimento e decaimento exponencial
Definir e
prova de que e é irracional representações de e Teorema de Lindemann–Weierstrass
Pessoas
John Napier Leonhard Euler
v d e

O logaritmo natural, também conhecido como logaritmo neperiano, é o logaritmo de base e, um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. É definido para todos os números reais estritamente positivos ${\displaystyle x}$ e admite uma extensão como uma função complexa analítica em ${\displaystyle \mathbf {C} \backslash \{0\}}$.

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

O logaritmo neperiano leva o nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), que utilizou a base 1/e e não a base e. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

Origem

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que: $${\displaystyle a^{(x+y)}=a^{x}\ a^{y}}$$

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo ${\displaystyle u=a^{x},}$ multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma: $${\displaystyle u=a^{x},v=a^{y},u\ v=a^{(x+y)}}$$

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno ${\displaystyle (x<1)}$, temos $${\displaystyle a^{x}\approx 1+kx}$$

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, k ≈ 0,7 e para a = 10, k ≈ 2,3.

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

Uma definição precisa em ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Uma maneira de definir o logaritmo natural: $${\displaystyle \ln(x):\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} }$$ é através da integral: $${\displaystyle \ln(x):=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:

• ${\displaystyle \ln(1)=0}$
• ${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\forall a,b>0}$
• ${\displaystyle \ln(x)}$ é uma função contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos: $${\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {dt}{t}}=\int _{1}^{a}{\frac {dt}{t}}+\int _{a}^{ab}{\frac {dt}{t}}}$$ A primeira parcela desta soma é ${\displaystyle \ln(a)}$ e a segunda parcela pode ser resolvida pela substituição: ${\displaystyle u=t/a,}$ portanto: $${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\int _{1}^{b}{\frac {du}{u}}}$$ segue que ${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}$

Sabemos então que ${\displaystyle \ln(x)=\log _{b}(x)}$ para alguma base ${\displaystyle b}$ a ser determinada.

Da simples definição temos: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$$

Seja ${\displaystyle b^{x}}$ a função inversa de ${\displaystyle \ln(x),}$ então, usando a fórmula ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f^{-1}(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}},}$ obtemos: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}}$$

Portanto ${\displaystyle b=e,}$ onde ${\displaystyle e}$ é o número de Euler.

Convenções de notação

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar log_e(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log₁₀(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "log_e(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log₁₀(x) e, em Computação, log(x) para log₁₀(x) e lg(x) para log₂(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log₁₀(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para log_e(x).

Função logarítmica complexa

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa ${\displaystyle z}$ pela equação: $${\displaystyle \ln z=\ln r+i(\theta \pm 2k\pi )}$$

onde ${\displaystyle r}$ é o módulo e ${\displaystyle \theta }$ é o argumento medido em radianos do número complexo${\displaystyle z}$; ${\displaystyle k=(1,2,3,\dots )}$ e ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle r}$ define o logaritmo natural real positivo de ${\displaystyle r.}$

Assim, a função ${\displaystyle ln}$ ${\displaystyle z}$ é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de ${\displaystyle ln}$ ${\displaystyle z}$ o número definido por: $${\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta }$$

Derivada da função logarítmica natural

Ver também: Derivada logarítmica

Dada a função:

${\displaystyle f(x)=\ln(x)}$

a sua derivada é:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {ln(x+h)-ln(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {ln((x+h)/x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}.ln(1+{\frac {h}{x}})=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {h}{x}})^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {1}{x/h}})^{\frac {1}{h}}}$

Após uma mudança de variável

${\displaystyle u={\frac {x}{h}}}$

${\displaystyle \lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{\frac {u}{x}}={\frac {1}{x}}\lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{u}={\frac {1}{x}}.ln(e)}$

que resulta em:[1]

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}$

Integral da função logarítmica

Dada a função: $${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C}$$

esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja: $${\displaystyle \int \ln(x)dx=\int (x)'\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x(\ln(x))'dx.}$$

Referências

1. «Derivadas de funções logarítmicas». Só Matemática. Consultado em 1 de junho de 2020