Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos.[1] Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos ${\displaystyle {\widehat {A}},{\widehat {B}}}$ e ${\displaystyle {\widehat {C}},}$ com medidas respectivamente ${\displaystyle a,b}$ e ${\displaystyle c,}$ valem as relações:[1]

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!}$

Demonstração

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Forma Geométrica

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:[2]

${\displaystyle ABC,BCD,BAD\,\!}$.

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

${\displaystyle b=n+m\,\!}$

e

${\displaystyle m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}$.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:[2]

${\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!}$

e para BAD:

${\displaystyle c^{2}=m^{2}+h^{2}\,\!}$

Substituindo:

${\displaystyle n=b-m\,\!}$

e

${\displaystyle h^{2}=c^{2}-m^{2}\,\!}$

em

${\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!}$

teremos:

${\displaystyle a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!}$

${\displaystyle a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!}$

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m\,\!}$

Entretanto, pode-se substituir a relação ${\displaystyle m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}$, do triângulo ${\displaystyle BAD\,\!}$, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}$

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!}$

Forma Vetorial

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: definimos um vetor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ como sendo igual a ${\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {c}}}$ temos um triângulo formado pela soma ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {c}}}$ e o resultante ${\displaystyle {\vec {b}}}$. Sabendo que ${\displaystyle u^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}}$ e ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot cos(\theta )}$ sendo ${\displaystyle \theta }$ o ângulo entre os vetores ${\displaystyle {\vec {u}}}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ temos o seguinte desenvolvimento:

Triângulo formado por vetores

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}=\|({\vec {b}}-{\vec {c}})\|^{2}}$

${\displaystyle \|{\vec {a}}\|^{2}=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})}$

${\displaystyle \|{\vec {a}}\|^{2}=\|{\vec {b}}\|^{2}+\|{\vec {c}}\|^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}$

A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\frac {\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-(\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2})}{2}}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\\end{aligned}}}$

Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.

Já que ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo formado entre os vetores ${\displaystyle {\vec {b}}}$ e ${\displaystyle {\vec {c}}}$ e considerando que o ponto da origem de ${\displaystyle {\vec {b}}}$ é o mesmo da origem de ${\displaystyle {\vec {c}}}$, dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor ${\displaystyle {\vec {a}}}$, logo formando um ângulo ${\displaystyle {\widehat {A}}}$.

Forma Matricial

Lei dos Cossenos

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {m}{b}}\to m=b\cos \alpha }$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {n}{a}}\to n=a\cos \beta }$

Somando as duas equações, como ${\displaystyle m+n=c}$, obtêm-se a relação: ${\displaystyle c=b\cos \alpha +a\cos \beta }$ . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:

${\displaystyle a=b\cos \gamma +c\cos \beta }$

${\displaystyle b=a\cos \gamma +c\cos \alpha }$

${\displaystyle c=b\cos \alpha +a\cos \beta }$

Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos Coeficientes (M): ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&c&b\\c&0&a\\b&a&0\end{bmatrix}}}$

Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel ${\displaystyle \cos \alpha }$ (X): ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}a&c&b\\b&0&a\\c&a&0\end{bmatrix}}}$

Assim, é válida a igualdade ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {det[X]}{det[M]}}}$ e, portanto:

${\displaystyle \cos \alpha }$ = ${\displaystyle {a(-a^{2}+b^{2}+c^{2}) \over 2abc}\to a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$

e, analogamente:

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$

Ver também

• Lei dos senos

Referências

1. Marcos Noé. «Lei do cosseno». R7. Brasil Escola. Consultado em 12 de maio de 2013 
2. Thyago Ribeiro (3 de junho de 2008). «Lei dos Senos e dos Cossenos». InfoEscola. Consultado em 12 de maio de 2013 

Ligações externas

• «Uma dedução simples da Lei dos Cossenos»