Lógica algébrica abstrata

Na Lógica Matemática, lógica algébrica abstrata é o estudo da algebrização dos sistemas dedutivos decorrente de uma abstração da já conhecida álgebra de Lindenbaum-Tarski, e como as álgebras resultantes estão relacionadas com os sistemas lógicos.

História

A associação arquetípica deste tipo, fundamental para as origens históricas da lógica algébrica e situado no coração de todas as subsequentes teorias desenvolvidas, é a associação entre as classes da álgebra booleana e o cálculo proposicional clássico. Essa associação foi descoberta por George Boole por volta de 1850, e refinada por outros, especialmente Ernst Schröder por volta de 1890. O trabalho culminou na Álgebra de Lindenbaum-Tarski, pensada por Alfred Tarski e seu aluno Adolf Lindenbaum na década de 1930. Mais tarde, Tarski e seus alunos americanos (que incluía Don Pigozzi) descobriram a álgebra cilíndrica, que algebrificou toda a lógica de primeira ordem clássica, e reviveu a álgebra de relação, cujos modelos incluem todas as teorias dos conjuntos axiomáticos já conhecidas.

A lógica algébrica clássica, que compreende todo o trabalho na lógica algébrica até 1960, estudadas as propriedades de classes específicas de álgebras que costumavam "algebrizar" sistemas lógicos específicos para as investigações lógicas específicas. Geralmente, a álgebra associada com um sistema lógico foi considerado um tipo de reticulado, possivelmente enriquecida com uma ou mais operações unárias diferentes da estrutura de complementação.

Lógica Algébrica Abstrata é uma subárea moderna da lógica algébrica que emergiu naPolônia durante as décadas de 1950 e 1960 com o trabalho de Helena Rasiowa, Roman Sikorski, Jerzy Łoś e Roman Susko (para nomear alguns). Atingiu a maturidade na década de 1980 com as publicações seminais do lógico polonês Janusz Czelakowski, do lógico Holandês Wim Blok e do americano Don Pigozzi. O foco da lógica algébrica abstrata se transferiu do estudo das classes específicas das álgebras associadas com sistemas lógicos específicos(o foco da lógica algébrica clássica) para o estudo de:

1. Classes das álgebras associadas com as classes dos sistemas lógicos cujos todos os membros satisfazem certas propriedades da lógica abstrata.
2. O processo pelo qual uma classe da álgebra torna-se a "contraparte algébrica" de um dado sistema lógico.
3. A relação entre propriedades metalógicas satisfeitas por uma classe de sistemas lógicos, e as propriedades algébricas correspondentes satisfeitas pelas suas contrapartes algébricas.

A passagem da lógica algébrica clássica para a lógica algébrica abstrata pode ser comparada com a passagem da "moderna" ou álgebra abstrata (i.e., o estudo de grupos, anéis, módulos, campos, etc.) para a álgebra universal (o estudo das classes das álgebras de tipos similaridades arbitrários (assinaturas algébricas) que satisfazem propriedades abstratas específicas.

As duas principais motivações para o desenvolvimento da lógica algébrica abstrata estão intimamente ligadas a (1) e (3) acima, um passo crítico na transição foi iniciado pelo trabalho de Rasiowa. O objetivo dela era abstrair resultados e métodos conhecidos que valerão no cálculo proposicional clássico e álgebra booleana e alguns outros sistemas lógicos intimamente relacionados, de uma certa maneira que estes resultados e métodos poderiam ser aplicados numa muito mais ampla variedades de lógicas proposicionais.

(3) deve muito ao trabalho conjunto de Blok e Pigozzi explorando as diferentes formas que o bem conhecido teorema da dedução do cálculo proposicional clássico e da lógica de primeira ordem assumem em uma ampla variedades de sistemas lógicos. Eles relacionam essas várias formas do teorema da dedução para as propriedades das contrapartes algébricas destes sistemas lógicos.

A lógica algébrica abstrata se tornou um bem estabelecido subcampo da lógica abstrata, com vários profundos e interessantes resultados. Esses resultados explicam várias propriedades das diferentes classes dos sistemas lógicos anteriormente explicados apenas de caso a caso ou envolto em mistérios. Talvez a mais importante conquista da lógica abstrata tem sido a classificação da lógica proposicional em uma hierarquia, chamada de hierarquia algébrica abstrata ou hierarquia de Leibniz, cujos diferentes níves, a grosso modo, refletem a força dos laços entre a lógica em um nível particular e sua classe associada de álgebras. A posição de uma lógica nesta hierarquia determina a extensão em que esta lógica pode ser estudada usando métodos e técnicas algébricas conhecidas. Uma vez que a lógica é atribuída a um nível desta hierarquia, pode-se recorrer ao poderoso arsenal de resultados, acumulados nos últimos 30 e poucos anos, que rege as álgebras situadas no mesmo nível da hierarquia.

A terminologia acima pode ser enganosa. "Lógica Algébrica Abstrata" é muitas vezes usado para indicar a abordagem da Escola húngara incluindo Hajnal Andréka, István Németi e outros. O que é chamado de "lógica algébrica abstrata" no parágrafo acima deveria ser chamado "lógica abstrata". Algebrização de sistemas de Gentzen por Ramon Jansana, J. Font e outros é uma melhoria significativa sobre a "lógica algébrica".

Exemplos

Sistema lógico	Contraparte Algébrica
lógica proposicional	álgebra booleana
lógica proposicional intuicionista	Álgebra de Heyting
lógica modal proposicional	álgebra cilíndrica; álgebra polyadica
Teoria dos conjuntos	lógica combinatória; álgebra de relação

Veja também

• Álgebra Abstrata
• Lógica Algébrica
• Teoria do modelo Abstrato
• Hierarquia(matemática)
• teoria dos modelos
• Variedade(Álgebra Universal)
• lógica universal

Bibliografia

• Blok, W., Pigozzi, D, 1989. Algebraizable logics. Memoirs of the AMS, 77(396). Also available for download from Pigozzi's Homepage
• Czelakowski, J., 2001. Protoalgebraic Logics. Kluwer. ISBN 0-7923-6940-8 Considered "an excellent and very readable introduction to the area of abstract algebraic logic" by Mathematical Reviews
• Font, J. M., 2003. An Abstract Algebraic Logic view of some multiple-valued logics. In M. Fitting & E. Orlowska (eds.), Beyond two: theory and applications of multiple-valued logic, Springer-Verlag, pp. 25–57.
• Font, J. M., Jansana, R., 1996. A General Algebraic Semantics for Sentential Logics. Lecture Notes in Logic 7, Springer-Verlag. (2nd edition published by ASL in 2009) Also access at [Project Euclid]
• --------, and Pigozzi, D., 2003, A survey of abstract algebraic logic, Studia Logica 74: 13-79.
• Ryszard Wójcicki (1988). Theory of logical calculi: basic theory of consequence operations. Springer. ISBN 978-90-277-2785-5.
• Andréka, H., Németi, I.: General algebraic logic: A perspective on "what is logic", in D. Gabbay (ed.): What is a logical system?, Clarendon Press, 1994, pp. 485–569.
• D. Pigozzi (2001). "Abstract algebraic logic". In M. Hazewinkel. Encyclopaedia of Mathematics: Supplement Volume III. Springer. pp. 2–13. ISBN 1-4020-0198-3. online at Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Abstract algebraic logic", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Ligações externas

• Stanford Encyclopedia of Philosophy:"Propositional Consequence Relations and Algebraic Logic" -- by Ramon Jansana.