Ideal (teoria da ordem)

Na área matemática da teoria da ordem, um ideal num conjunto parcialmente ordenado ⟨A,≤⟩ é um subconjunto I de A com propriedades específicas. Esse conceito é uma generalização do de ideal em teoria dos anéis e tem considerável importância na teoria da ordem e na de reticulados, incluindo as Álgebras de Boole.

Definições

Dado um conjunto parcialmente ordenado ${\displaystyle \left\langle A,\leq \right\rangle }$, um ideal é um subconjunto não vazio ${\displaystyle I^{\,}}$ com as seguintes propriedades:

${\displaystyle \mathbf {1.} {\mbox{ Se }}x\in I{\mbox{ e }}y\leq x{\mbox{, então }}y\in I}$

${\displaystyle \mathbf {2.} {\mbox{ Se }}x,y\in I{\mbox{, então }}\exists z\in I{\mbox{ tal que }}x\leq z{\mbox{ e }}y\leq z}$

A propriedade 2 especifica que ${\displaystyle I}$ é um conjunto direcionado. Na definição original em reticulados, essa propriedade é substituída por:

${\displaystyle \mathbf {2^{*}.} {\mbox{ Se }}x,y\in I{\mbox{, então }}x\vee y\in I}$

pois 2 e 2* são equivalentes em reticulados.

Um ideal ${\displaystyle I^{\,}}$ num conjunto ordenado ${\displaystyle \left\langle A,\leq \right\rangle }$ é denominado principal se existe um ${\displaystyle i\in I^{\,}}$ tal que

${\displaystyle I=\{x\in A\!:i\leq x\}}$

Nesse caso, diz-se que ${\displaystyle I^{\,}}$ é gerado por ${\displaystyle i^{\,}}$.

Um ideal ${\displaystyle I^{\,}}$ é denominado primo, se toda vez que ${\displaystyle x\wedge y\in I}$ temos ${\displaystyle x\in I}$ ou ${\displaystyle y\in I}$.

Veja também

• Filtro (teoria dos conjuntos)
• Ideal (teoria dos anéis)
• Ideal (teoria dos conjuntos)

Referências

Bibliografia

• Birkhoff, Garret (1948). Lattice Theory. New York: American Mathematical Society 

• Birkhoff, Garrett; MacLane, Saunders (1965). A survey of modern algebra. New York: MacMillan  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

• Burris, S.; Sankappanavar, H.P (1981). A course in universal algebra. New York: Springer  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

• Lawson, M.V (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789810233167 

• Sikorski, Roman (1969). Boolean Algebras. Heildelberg: Springer Verlag 

• Stanley, R.P (2002). Enumerative combinatorics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521663519