Grupo abeliano livre

Em álgebra abstrata, um grupo abeliano livre ou Z-módulo livre é um grupo abeliano com uma base. Em outras palavras, é um conjunto com uma operação binária associativa, comutativa e invertível, e sua base é um subconjunto de seus elementos tal que todo elemento do grupo pode ser escrito de forma única como uma combinação linear de elementos da base com coeficientes inteiros, dos quais apenas uma quantidade finita é diferente de zero. Os elementos de um grupo abeliano livre com base B também são denominados somas formais sobre B. Informalmente, somas formais também podem ser vistas como multiconjuntos com sinal com elementos em B. Grupos abelianos livres e somas formais têm aplicações em topologia algébrica, em que eles são utilizados para definir grupos de cadeias, e em geometria algébrica, em que são utilizados para definir divisores.

Base

Seja G um grupo abeliano, e X um subconjunto de G. As duas condições abaixo são equivalentes:

• Cada elemento a ≠ 0 de G pode ser expresso, de forma única (a menos da ordem das parcelas) como uma soma a = n₁ x₁ + n₂ x₂ + ... + n_r x_r em que n_i são inteiros não-nulos e x_i são elementos distintos de X
• X gera G, e se n₁ x₁ + n₂ x₂ + ... + n_r x_r = 0 para n_i inteiros e distintos valores de x_i, elementos de X, então todos n_i são zero

Nas condições acima, G é um grupo abeliano livre, e X é uma base para o grupo.[1]

Exemplos

• ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \ldots \mathbb {Z} \ (r\ {\mbox{vezes}})\,}$ é um grupo abeliano livre com base { (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ... (0, 0, ..., 1) }
• O grupo finito ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\,}$ não é um grupo abeliano livre, pois n x = 0 para qualquer x
• ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)\,}$ também não é um grupo abeliano livre.[1] Demonstra-se este fato pois qualquer subconjunto com dois elementos não é linearmente independente.[2]

Ver também

• Grupo abeliano
• Grupo livre

Referências

1. Robert Gardner, Free Abelian Groups [pdf]
2. http://math.illinoisstate.edu/gfseeli/mat407/hwk9.pdf

Bibliografia

• Fraleigh, John B. A First Course in Abstract Algebra (em inglês) 7 ed. [S.l.]: Addison-Wesley. pp. 333–340. ISBN 9780201763904 
• Rotman, Joseph J. (2009). Introduction to Homological Algebra (em inglês) 2 ed. New York: Springer. 56 páginas. ISBN 978-0-387-24527-0