Enlace de Hopf

Enlace de Hopf
Enlace de Hopf

Na teoria dos nós, o enlace de Hopf é o mais simples dos enlaces não triviais com mais de uma componente.[1] Ele consiste em dois círculos interligados exatamente uma vez, seu nome é dado em função do matemático alemão Heinz Hopf.

Realizações geométricas

Um modelo concreto consiste de duas unidade de círculos em um plano perpendicular, cada um passando através do centro do outro.[2] Este modelo minimiza o comprimento da corda do enlace e, até 2002, o enlace de Hopf era o único elo de ligação cujo comprimento minímo da corda era conhecido.[3] A envoltória convexa dessas duas formas de círculos são chamadas de um Oloid.[4]

Propriedades

Dependendo das orientações relativas dos dois componentes, o número de enlaces,do Enlace de Hopf será ±1.[5]

O enlace de Hopf é um (2,2)- no enlace toral[6] com a trança palavra[7]

O complemento de nó do enlace de Hopf é R × S1 × S1, o cilindro sobre um toro.[8] Este espaço tem uma localidade na geometria euclidiana, de modo que uma ligação Hopf não seja um enlace hiperbólico. O grupo de nó do enlace Hopf(o grupo fundamental de seu complemento) é Z2 (o Grupo abeliano livre em dois geradores), distinguindo-o de um desvinculado par de loops que tem o grupo livre em dois geradores, como o seu grupo.[9]

O enlace de Hopf não é tricolor. Isso é facilmente visto a partir do fato de que o enlace só pode assumir duas cores que o leva a falhar a segunda parte da definição de tri-coloração. Em cada cruzamento, terá um máximo de duas cores. Assim, se ele satisfaz a regra de ter mais de uma cor, falha na regra de ter uma ou três cores em cada cruzamento. Se ele satisfaz a regra de ter uma ou três cores em cada cruzamento, ele irá falhar a regra de ter mais de uma cor.

Fibração de Hopf

A Fibração de Hopf é uma função contínua na 3-esfera (uma superfície tridimensional em quatro dimensões no espaço Euclidiano) para o mais familiar 2-esfera, com a propriedade que a imagem inversa de cada ponto na 2-esfera é um círculo. Assim, essas imagens decompõe a 3-esfera em uma contínua família de círculos, e a cada dois distintos círculos formam um enlace de Hopf. Esta foi a motivação de Hopf para o estudo dos enlaces de Hopf: porque cada duas fibras são vinculadas, a Fibração de Hopf é uma fibração não trivial. Este exemplo começou de estudos de grupos de esferas homotópicas.Erro de citação: Elemento de abertura <ref> está mal formado ou tem um nome inválido

História


O enlace de Hopf é nomeado após o topólogo Heinz Hopf, considerar em 1931, como parte de sua pesquisa sobre a fibração Hopf.Erro de citação: Elemento de abertura <ref> está mal formado ou tem um nome inválido No Entanto, em matemática, ele era conhecido por Carl Friedrich Gauss antes do trabalho de Hopf.Erro de citação: Elemento de abertura <ref> está mal formado ou tem um nome inválido Ele também tem sido usado fora da matemática, por exemplo, como a crista de Buzan-ha, uma seita Budista Japonesa fundada no século XVI.

Veja também

Referências

  1. ↑ Adams, Colin Conrad (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, ISBN 9780821836781, American Mathematical Society, p. 151 .
  2. ↑ Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (1998), «On distortion and thickness of knots», Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996), IMA Vol. Math. Appl., 103, New York: Springer, pp. 67–78, MR 1655037, doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7 
  3. ↑ Cantarella, Jason; Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (2002), «On the minimum ropelength of knots and links», Inventiones Mathematicae, 150 (2): 257–286, MR 1933586, arXiv:math/0103224Acessível livremente, doi:10.1007/s00222-002-0234-y .
  4. ↑ Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997), «The development of the oloid» (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 1 (2): 105–118, MR 1622664 .
  5. ↑ Adams (2004), p. 21.
  6. ↑ Kauffman, Louis H. (1987), On Knots, ISBN 9780691084350, Annals of Mathematics Studies, 115, Princeton University Press, p. 373 .
  7. ↑ Adams (2004), Exercise 5.22, p. 133.
  8. ↑ Turaev, Vladimir G. (2010), Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds, ISBN 9783110221831, De Gruyter studies in mathematics, 18, Walter de Gruyter, p. 194 .
  9. ↑ Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, ISBN 9787302105886, p. 24 .


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