Energia do grafo

Os primeiros estudos sobre a energia de grafos se deram no inicio dos anos 30, tendo origem em pesquisas sobre química quântica [1]. Nestes trabalhos, grafos foram utilizados para representar moléculas de hidrocarbonetos, com o propósito de determinar os níveis energéticos de alguns elétrons. Estas informações eram obtidas através da soma dos módulos dos autovalores do grafo associado a molécula em questão. Contudo, a energia de um grafo foi definida pela primeira vez apenas em 1978 por Ivan Gutman[2].

Definição

Em teoria espectral de grafos, a energia de um grafo é um parâmetro definido como a soma dos valores absolutos dos autovalores da sua matriz de adjacência. Mais precisamente, sejam ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{n}}$ todos os autovalores da matriz de adjacência do grafo ${\displaystyle G}$. Assim, sua energia é definida como:

${\displaystyle E(G)=\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|,}$

Energia de uma matriz

Nikiforov[3] estendeu o conceito de energia de um grafo para matrizes reais. Considere ${\displaystyle M}$a matriz real (não necessariamente quadrada), sua energia é definida como a soma dos seus valores singulares. Vamos recordar que um valor singular da matriz ${\displaystyle M}$, é a raiz quadrada de um dos autovalores da matriz ${\displaystyle MM^{T}}$. Mais precisamente, sejam ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \cdots \geq \sigma _{n}}$ todos os valores de singulares de ${\displaystyle M}$, assim a sua energia é definida por:

${\displaystyle E(M)=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}}$

Nestas condições, vale destacar que a energia de um grafo ${\displaystyle G}$, é igual a energia da sua matriz de adjacência.

Outras energias

Além da energia usual de um grafo ${\displaystyle G}$, atualmente pesquisadores tem estudado energias associadas a outras matrizes relacionadas com um grafo. Seja ${\displaystyle G}$ um grafo com ${\displaystyle n}$ vértices e ${\displaystyle m}$ arestas e ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade . Assim definimos:

A energia Laplaciana[4], definida como ${\displaystyle LE(G)=E\left(L(G)-{\frac {2m}{n}}I\right)}$, onde ${\displaystyle L(G)}$ é matriz Laplaciana do grafo ${\displaystyle G}$.

A energia Laplaciana sem sinal[5], definida como ${\displaystyle QE(G)=E\left(Q(G)-{\frac {2m}{n}}I\right)}$, onde ${\displaystyle Q(G)}$ é matriz Laplaciana sem sinal do grafo ${\displaystyle G}$.

A energia de incidência[6], definida como ${\displaystyle BE(G)=E(B(G))}$, onde ${\displaystyle B(G)}$ é matriz de incidência do grafo ${\displaystyle G}$.

Referências

1. E. Hückel. Quantentheoretische beitrage zum benzolproblem. Z. Phys. 70 (1931), 204-286.
2. I. Gutman, The energy of a graph, Ber. Math. Statist. Sekt. Forschungszenturm Graz., 103(1978), 1-22.
3. V. Nikiforov. The energy of graphs and matrices. J. Math. Anal. Appl. 326 (2007), 1472-1475.
4. I. Gutman, B. Zhou, Laplacian energy of a graph, Lin. Algebra Appl. 414 (2006) 29–37.
5. I. Gutman, M. Robbiano, E. Martins, D. Cardoso, L. Medina, and O. Rojo. Energy of line graphs. Linear Algebra and its Applications 433 (2010) 1312–1323
6. M. Jooyandeh, D. Kiania and M. Mirzakhaha. Incidence energy of a graph. MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 62 (2009), 561-572.

Ver também

• Portal da matemática

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