Coordenadas homogêneas

Os pontos de cada recta têm as mesmas coordenadas homogéneas.

Em geometria computacional, é utilizado em lugar do sistema de coordenadas cartesiano devido às vantagens que oferece no tratamento algébrico de pontos "no infinito".

Definição

Por definição, um ponto representado por ${\displaystyle (X,Y)}$ no sistema de coordenadas cartesiano é representado, em coordenadas homogêneas, por ${\displaystyle [x,y,w]}$, onde X = x/ w e Y = y/ w.

Deste modo, o ponto cartesiano ${\displaystyle (X,Y)}$ corresponde à uma infinidade de triplas ${\displaystyle [wX,wY,w]}$, incluindo o caso particular de ${\displaystyle [x,y,1]}$. O valor ${\displaystyle w}$ é chamado de peso.

Este sistema permite representar pontos no infinito (ou direções), chamados (em geometria projetiva) de pontos impróprios, ao usar w = 0 e x ≠ 0 ou y ≠ 0. Por exemplo, o ponto impróprio que representa o feixe de retas paralelas ao eixo x tem coordenadas homogêneas ${\displaystyle [0,x,0].}$

Ver também

• Geometria computacional
• Geometria Projetiva
• Topologia
• Infinito
• Otimização