Conjunto canónico

O conjunto canónico ^(português europeu) ou conjunto canônico ^(português brasileiro) ou ensemble canónico ^(português europeu) ou ensemble canônico ^(português brasileiro) em física estatística é um ensemble estatístico que modeliza um sistema físico em contato com um reservatório térmico de temperatura fixa, supondo que o volume e o número de partículas do sistema também são fixos. O ensemble canônico descreve tipicamente um sistema em contato com um reservatório térmico através de uma parede diatérmica, fixa e impermeável, mas sua aplicação transcende os limites da física.

Para um sistema em equilíbrio assumindo valores discretos de energia, com temperatura, número de partículas e volume fixos por reservatórios, a probabilidade ${\displaystyle p_{i}}$ de encontrá-lo num micro-estado particular ${\displaystyle p_{i}}$ é dada por:

${\displaystyle p_{i}={\tfrac {1}{Z}}e^{-{\frac {E_{i}}{kT}}},}$

sendo ${\displaystyle E_{i}}$ a energia do microestado ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle Z}$ a função de partição do sistema, definida por

${\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-{\frac {E_{i}}{kT}}}=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}.}$

Fora da física, o formalismo canónico é amplamente utilizado, sendo aplicado, por exemplo, para prever teoricamente a distribuição da rendas da observação de Pareto de que as rendas altas se distribuem de acordo com uma lei potencial inversa. A evidência indica que as rendas altas de diversos lugares dos Estados Unidos se encontram em equilíbrio termodinâmico.

Apresentação física do problema

Imagine-se que se tem um sistema físico em contacto com um banho térmico. Isto quer dizer que está em contacto com uma grande massa a uma temperatura dada, e pelo princípio zero da termodinâmica tenderemos portanto o sistema em equilíbrio termodinâmico com o banho. Nestas condições, a energia não está totalmente determinada, senão que é uma variável aleatória que pode tomar uma série de valores. Desta forma, só podemos falar de probabilidade de que o sistema adopte uma energia determinada em função desta temperatura.

O fator de Boltzmann

Demonstra-se que a probabilidade de que um sistema a temperatura T esteja numa configuração de energia E é proporcional ao fator de Boltzmann:

${\displaystyle P_{E}={\frac {e^{-E/k_{B}T}}{Z}}}$

onde

${\displaystyle P_{E}}$ é a probabilidade buscada

${\displaystyle E}$ é a energia cuja probabilidade se está a procura

${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann

${\displaystyle T}$ é a temperatura.

A constante ${\displaystyle Z}$ não é mais que uma constante de normalização imposta para que a soma das probabilidades de todos os estados seja um. Define-se trivialmente como:

${\displaystyle Z=\sum _{\nu }e^{-E_{\nu }/k_{B}T}}$

onde ${\displaystyle \nu }$ é um índice mudo que recorre todos os estados possíveis do sistema com um número de partículas, volume e temperatura dadas.

A função de partição canónica

A constante de normalização ${\displaystyle Z}$ recebe o nome de função de partição canónica ou simplesmente de função partição. Esta é uma função matemática da temperatura, em número de partículas e o volume. Pode-se demonstrar a fórmula seguinte, que relaciona a mecânica estatística com a termodinâmica no conjunto canónico:

${\displaystyle F(T,V,N)=-k_{B}T\;\log {Z}}$

Esta equação nos dá a energia livre de Helmholtz do sistema (uma variável de estado termodinâmica) em função das suas variáveis naturais, o que supõe um conhecimento termodinâmico exaustivo do sistema. Portanto conhecer a função de partição é resolver o problema estatístico.

Ver também

• Física estatística
• Conjunto microcanónico
• Ensemble Grande Canônico

Referências

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, "Statistical Physics, 3rd Edition Part 1", Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996.
• Silvio R. A. Salinas, "Introdução à Física Estatística", Edusp, 2005.

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