Conjectura da soma de potências de Euler

A conjectura de Euler dizia que uma equação do tipo ${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+\cdots +a_{n}^{k}=b^{k}}$ só teria solução de inteiros positivos se a quantidade n de parcelas fosse, no mínimo, igual ao expoente (inteiro) k.

Esta conjectura foi proposta por Leonhard Euler em 1769. Tratava-se de uma tentativa de generalização do Último Teorema de Fermat (1637).

No entanto, esta conjectura foi provada falsa por L. J. Lander e T. R. Parkin em 1966 [1], ao exibirem um contra-exemplo de uma potência de 5 obtida pela soma de apenas 4 potências de 5:

${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}}$.

Em 1986, Noam Elkies, da Universidade de Harvard, encontrou um método para construir contra-exemplos para o caso de k = 4 (${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=w^{4}}$). Seu contra-exemplo foi:

${\displaystyle 2.682.440^{4}+15.365.639^{4}+18.796.760^{4}=20.615.673^{4}}$.

Em 1988, Roger Frye encontrou o menor contra-exemplo possível para k = 4 usando técnicas computacionais sugeridas por Noam Elkies:

${\displaystyle 95.800^{4}+217.519^{4}+414.560^{4}=422.481^{4}}$

Vale notar que a determinação de 1 contra-exemplo gera uma família de infinitos contra-exemplos.

Para isso, basta notar que: se ${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+\cdots +a_{n}^{k}=b^{k}}$ , basta multiplicarmos a sentença por ${\displaystyle c^{k}}$.

O que nos fornece: ${\displaystyle (c.a_{1})^{k}+(c.a_{2})^{k}+(c.a_{3})^{k}+\cdots +(c.a_{n})^{k}=(c.b)^{k}}$

Ligações externas

• EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
• Euler Quartic Conjecture em MathWorld
• Diophantine Equation — 4th Powers em MathWorld
• Euler's Sum of Powers Conjecture em MathWorld

1. Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). «Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers». Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3