Condição de energia

Em teorias clássicas de campo relativísticas da gravitação, particularmente na relatividade geral, uma condição de energia é um de vários critérios alternativos que podem ser aplicados para o teor de matéria da teoria, quando se é ou não possível ou desejável especificar este conteúdo explicitamente. O esperado é, então, que qualquer teoria da matéria razoável irá satisfazer esta condição, ou pelo menos vai preservar a condição se ela é satisfeita pelas condições de partida.[1][2]

Na relatividade geral, condições de energia são muitas vezes utilizadas (e necessárias) em provas de vários teoremas importantes sobre buracos negros, como o teorema da calvície ou as leis da termodinâmica de buracos negros.[3][4][5][6]

Formulação matemática

Dentre as diversas condições de energia já usadas, as mais comuns são as seguintes:

Condição de energia fraca

A condição de energia fraca estipula que qualquer vetor tipo-tempo ${\displaystyle {\vec {X}},}$ a densidade de energia de qualquer distribuição de matéria, medida por qualquer observador no espaço-tempo, deve ser sempre não negativa, isto é,

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}\geq 0.}$

Condição de energia nula

A condição de energia nula impõe que para qualquer vetor tipo-nulo ${\displaystyle {\vec {k}}}$ dirigido para o futuro, temos

${\displaystyle \rho +p=T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0.}$

Condição de energia dominante

A condições de energia dominante afirma que, além da condição de energia fraca ser válida, é necessário que ${\displaystyle T^{ab}X_{a}}$ seja tipo-tempo ou tipo-nulo, ou seja,

${\displaystyle T_{ab}{T^{b}}_{c}X^{a}X^{c}\leq 0.}$

Isso implica que a massa-energia observada nunca pode fluir mais rápida do que a luz no vácuo.

Condição de energia forte

A condição de energia forte estipula que para cada vetor tipo-tempo ${\displaystyle {\vec {X}}}$ dirigido para o futuro, temos que

${\displaystyle \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b}\geq 0,}$

onde ${\displaystyle T={T^{c}}_{c}}$ é o traço do tensor de energia-momento.

Esta condição garante o caráter atrativo da matéria, por isso um modelo em que se permita a presença de energia escura impõe que essa condição deva ser violada.

Fluido perfeito

Implicações entre algumas condições de energia no caso de um fluido perfeito.

Considerando a assinatura da métrica como ${\displaystyle (+,-,-,-)}$, e o caso especial em que a fonte é um fluido perfeito, o tensor de energia-momento energia possui a seguinte forma:

${\displaystyle T^{ab}=\left(\rho +p\right)u^{a}u^{b}-pg^{ab},}$

onde ${\displaystyle u^{a}}$ é a quadrivelocidade do fluido, ${\displaystyle \rho }$ é densidade de energia e ${\displaystyle p}$ é a pressão.

As condições de energia podem ser expressas como

• Condição de energia nula (null): ${\displaystyle \rho +p\geq 0.}$
• Condição de energia fraca (weak): ${\displaystyle \rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.}$
• Condição de energia dominante (dominant): ${\displaystyle \rho \geq |p|.}$
• Condição de energia forte (strong): ${\displaystyle \rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.}$

Note que algumas dessas condições permitem pressões negativas.

Referências

1. Erik Curiel; A Primer on Energy Conditions, 2014.
2. David B. Malament; Topics in the Foundations of General Relativity and Newtonian Gravitation Theory; The University of Chicago Press, 2012.
3. Robert M. Wald; General Relativity; University of Chicago Press, 2010. pg. 214.
4. Yvonne Choquet-Bruhat; General Relativity and the Einstein Equations; OUP Oxford, 2008.
5. A.J. Kox Arquivado em 12 de setembro de 2015, no Wayback Machine., Jean Eisenstaedt; The Universe of General Relativity; Springer Science & Business Media, 2006. pg. 224.
6. Abhay Ashtekar, Beverly Berger Arquivado em 23 de setembro de 2015, no Wayback Machine., James Isenberg, Malcolm MacCallum; General Relativity and Gravitation: A Centennial Perspective; Cambridge University Press, 2015.

Bibliografia

• Carroll, Sean M. (2004). «Seção 4.6 - Energy Conditions». Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (em inglês). San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8732-3 
• Hawking, Stephen; Ellis, G. F. R. (1973). «Seção 4.3 - Energy Conditions». The Large Scale Structure of Space-Time (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4